По данным выбороки установить теоретические законы распределения случайной величины

Пример 1:

По данным выбороки установить теоретические законы распределения случайной величины и проверить согласованность статистического и теоретического распределений по критерию Пирсона при уровне значимости α=0,05.

2.53	1.48	2.45	15.95	0.41	0.03	7.43	3.96	22.58	5.86
0.56	0.24	2.31	0.29	1.16	13.71	5.18	8.38	13.67	6.92
4.76	0.17	12.69	6.43	0.35	0.56	1.02	8.62	12.33	4.62
12.07	0.94	3.31	8.92	2.34	1.56	2.73	1.62	4.14	0.87
11.37	1.31	2.92	18.91	3.51	7.87	4.23	1.03	3.66	11.72
16.74	0.09	1.91	3.31	3.77	5.99	6.54	10.61	5.92	2.51
0.08	1.77	19.57	1.88	2.46	8.72	4.26	0.64	3.54	1.18
2.75	2.21	8.65	7.32	22.43	6.78	1.05	0.32	0.83	1.21
10.47	4.25	24.94	2.28	0.22	0.47	18.05	7.55	0.21	2.14
0.79	2.33	1.56	7.87	1.38	0.75	6.11	7.06	8.37	2.07

Решение от преподавателя:

Составляем интервальный вариационный ряд. Для этого определяем объем и размах выборки:

          n=100

          x_min=0,03, x_max=24,94, Δ=24,94-0,03=24,91

определяем число интервалов:

          k = 1+log₂n = 1+3.32∙lg100 = 1+3.32∙2 = 7

ширину интервалов:

       

составляем интервальный вариационный ряд:

 

Строим гистограмму:

 

По сгруппированным данным вычисляем выборочные числовые характеристики: среднее арифметическое, исправленную выборочную дисперсию, среднее квадратичное отклонение:

По виду гистограммы выдвигаем гипотезу Н₀: генеральная совокупность имеет экспоненциальное распределение с параметром λ=3.5.

Проверку гипотезы о виде закона распределения проводим, используя критерий согласия Пирсона.

Для определения теоретических частот нам нужен параметр закона распределения λ. Точное значение этого параметра теоретического закона распределения нам неизвестны, поэтому заменяем его наилучшей характеристикой, полученной по выборке.

Теоретические вероятности попадания в рассматриваемые интервалы для экспоненциального закона распределения выражаются по формуле:

       

Для удобства все расчеты заносим в таблицу:

 

При уровне значимости α=0.05 и числе степеней свободы k=7-2-1=4 критическое значение статистики - Пирсона определяется по таблице:

       

Таким образом, значение статистики , вычисленное по выборке, не превосходит критического значения: 3.896 < 9.488, и это позволяет утверждать, что опытные данные на заданном уровне значимости не противоречат гипотезе о экспоненциальном законе распределения, или опытные данные согласуются с выдвинутой гипотезой.

Пример 2:

По данным выбороки установить теоретические законы распределения случайной величины и проверить согласованность статистического и теоретического распределений по критерию Пирсона при уровне значимости α=0,05.

Выборка
28.89	4.75	12.65	6.50	10.68	9.78	16.44	17.14	6.02	3.60
27.23	20.45	31.10	27.11	9.95	13.63	12.82	14.48	26.80	20.14
16.30	26.67	6.82	18.92	23.58	14.79	18.25	29.16	9.92	13.06
4.29	26.18	20.51	12.79	4.74	8.73	21.28	3.04	28.71	15.57
6.08	28.83	11.41	6.03	13.09	28.71	16.92	14.27	27.84	11.05
19.37	8.68	19.51	7.46	6.71	24.47	14.74	6.28	27.20	16.84
17.39	30.80	9.77	11.60	16.45	17.81	27.14	5.35	23.90	4.52
16.64	30.70	23.83	17.53	4.96	12.51	20.20	27.13	22.43	9.06
20.34	21.63	13.60	29.60	3.11	23.43	22.66	28.85	12.58	14.99
17.71	12.33	3.37	9.00	23.92	3.55	11.48	11.74	14.14	13.36

Решение от преподавателя:

Составляем интервальный вариационный ряд. Для этого определяем объем и размах выборки:

          n=100

          x_min=3,04, x_max=31,1, Δ=31,1-3,04=28,06

определяем число интервалов:

          k = 1+log₂n = 1+3.32∙lg100 = 1+3.32∙2 = 7

ширину интервалов:

       

составляем интервальный вариационный ряд:

 

Строим гистограмму:

 

По сгруппированным данным вычисляем выборочные числовые характеристики: среднее арифметическое, исправленную выборочную дисперсию, среднее квадратичное отклонение:

По виду гистограммы выдвигаем гипотезу Н0: генеральная совокупность имеет равномерное распределение на отрезке [2.7; 31.4].

Проверку гипотезы о виде закона распределения проводим, используя критерий согласия Пирсона.

Для определения теоретических частот нам нужен параметр закона распределения λ. Точное значение этого параметра теоретического закона распределения нам неизвестны, поэтому заменяем его наилучшей характеристикой, полученной по выборке.

Для равномерного закона все теоретические вероятности попадания в рассматриваемые интервалы равны 1/7.Для удобства все расчеты заносим в таблицу:

 

При уровне значимости α=0.05 и числе степеней свободы k=7-2-1=4 критическое значение статистики c²- Пирсона определяется по таблице:

       

Таким образом, значение статистики , вычисленное по выборке, не превосходит критического значения: 6.856 < 9.488, и это позволяет утверждать, что опытные данные на заданном уровне значимости не противоречат гипотезе о равномерном законе распределения, или опытные данные согласуются с выдвинутой гипотезой.