По данным выборки установить теоретические законы распределения случайной величины

Пример 1:

По данным выборки установить теоретические законы распределения случайной величины и проверить согласованность статистического и теоретического распределений по критерию Пирсона при уровне значимости .

Выборка
8.69	10.25	9.88	15.09	13.92	6.12	11.16	10.80	7.77	9.43
10.68	9.61	7.85	4.80	8.05	9.00	10.60	14.32	6.28	3.57
1.63	4.07	8.50	8.43	11.32	7.15	12.40	6.31	12.43	5.87
7.50	5.65	6.08	9.26	12.40	6.74	11.41	8.18	9.67	1.38
10.80	10.36	10.76	9.83	9.04	9.71	15.26	7.11	7.70	6.16
6.18	14.90	3.89	12.51	12.75	13.44	5.78	10.26	9.90	2.76
13.43	8.95	11.03	15.80	7.04	11.81	11.87	10.59	6.82	6.68
3.15	10.77	5.49	11.90	11.58	7.63	6.97	10.71	7.08	10.88
10.03	19.12	7.24	12.93	12.13	12.95	9.32	9.79	2.37	9.38
9.92	6.38	9.53	3.13	9.14	10.60	11.73	10.22	12.08	6.39

Решение от преподавателя:

Составляем интервальный вариационный ряд. Для этого определяем объем и размах выборки:

          n=100

          x_min=1.38, x_max=19.12, Δ=19.12-1.37=17.74

определяем число интервалов:

          k = 1+log₂n = 1+3.32∙lg100 = 1+3.32∙2 = 7

ширину интервалов:

       

составляем интервальный вариационный ряд:

 

Поскольку последний интервал содержит мало значений (<4), объединяем его с предпоследним:

 

 

 

Строим гистограмму:

 

По сгруппированным данным вычисляем выборочные числовые характеристики: среднее арифметическое, исправленную выборочную дисперсию, среднее квадратичное отклонение:

По виду гистограммы выдвигаем гипотезу Н0: генеральная совокупность имеет нормальное распределение с параметрами a=9.18, σ=3.30.

Проверку гипотезы о виде закона распределения проводим, используя критерий согласия Пирсона. Суть проверки гипотезы о том, что случайная величина распределена по нормальному или равномерному закону, состоит в том, что сравниваются наблюдаемое значение статистики и критическое .

Наблюдаемое значение статистики определяется по эмпирическим и теоретическим частотам по формуле:

       

где – эмпирические, а – теоретические частоты.

Критическое значение статистики определяется в зависимости от уровня значимости α и числа степеней свободы k=m-s-1, где m – число интервалов, а s – число неизвестных параметров распределения (для нормального закона распределения s=2).

Для определения теоретических частот нам нужны параметры закона распределения, а именно - математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение σ. Точные значения этих параметров теоретического закона распределения нам неизвестны, поэтому заменим их наилучшими характеристиками, полученными по выборке.

Теоретические вероятности попадания в рассматриваемые интервалы для нормального закона распределения выражаются через функцию Лапласа по формуле:

       

Значения функции Лапласа определяются по таблице. Для удобства все расчеты заносим в таблицу:

xi	xi+1	ni			pi	n·pi
-∞	3.9	8	0.0000	0.0546	0.0546	5.46	1.176
3.9	6.5	14	0.0546	0.2082	0.1536	15.36	0.120
6.5	9.1	22	0.2082	0.4904	0.2822	28.22	1.372
9.1	11.7	34	0.4904	0.7778	0.2873	28.73	0.965
11.7	14.3	16	0.7778	0.9398	0.1621	16.21	0.003
14.3	∞	6	0.9398	1.0000	0.0602	6.02	0.000
		100			1	100	3.635

 

При уровне значимости α=0.05 и числе степеней свободы k=6-2-1=3 критическое значение статистики c²- Пирсона определяется по таблице:

       

Таким образом, значение статистики , вычисленное по выборке, не превосходит критического значения: 3.635 < 5.991, и это позволяет утверждать, что опытные данные на заданном уровне значимости не противоречат гипотезе о нормальном законе распределения, или опытные данные согласуются с выдвинутой гипотезой.