По данным таблицы построить ряд распределения для Х и найти ее основные числовые характеристики

Предмет: Математика

Раздел предмета: Теория вероятностей и математическая статистика

Для начала рассмотрим таблицу вероятностей. Представим её в виде удобной для анализа таблицы:

Шаг 1: Построение ряда распределения для X.

В ряду распределения X значения совокупной вероятности вычисляются для каждого значения \( X \). Для этого надо суммировать все вероятности в строке, соответствующие этому значению X.

\[ \begin{align*} P(X=3) & = 0.1 + 0 + 0.2 + 0.15 + 0.05 = 0.5 \\ P(X=5) & = 0.12 + 0.01 + 0.05 + 0.02 + 0.05 = 0.25 \\ P(X=1) & = 0 + 0.1 + 0 + 0.05 + 0.1 = 0.25 \\ \end{align*} \]

Таким образом, ряд распределения для \( X \):

\[ \begin{array}{c|c} X & P(X) \\ \hline 3 & 0.50 \\ 5 & 0.25 \\ 1 & 0.25 \\ \end{array} \]

Шаг 2: Вычисление основных числовых характеристик.

Для \( X \) найдем математическое ожидание \( E(X) \):

\[ E(X) = \sum_{i} x_i P(X = x_i) = 3 \times 0.50 + 5 \times 0.25 + 1 \times 0.25 \]

\[ E(X) = 3 \times 0.50 + 5 \times 0.25 + 1 \times 0.25 = 1.5 + 1.25 + 0.25 = 3.0 \]

Теперь найдём дисперсию \( D(X) \):

\[ D(X) = \sum_{i} (x_i - E(X))^2 P(X = x_i) \]

Для этого сначала вычислим разности \( (x_i - E(X)) \):

\[ (3 - 3)^2 \times 0.50 = 0 \\ (5 - 3)^2 \times 0.25 = 4 \times 0.25 = 1 \\ (1 - 3)^2 \times 0.25 = 4 \times 0.25 = 1 \\ \]

Теперь сложим эти значения:

\[ D(X) = 0 + 1 + 1 = 2 \]

Следовательно, основные числовые характеристики \( X \) следующие:

• Математическое ожидание \( E(X) = 3.0 \)
• Дисперсия \( D(X) = 2.0 \)
• Среднеквадратичное отклонение \( \sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{2} \approx 1.41 \)

Таким образом, ряд распределения и основные числовые характеристики для случайной величины \( X \):

• Ряд распределения \( X \):
  • \( P(X=3) = 0.50 \)
  • \( P(X=5) = 0.25 \)
  • \( P(X=1) = 0.25 \)
• Основные числовые характеристики для \( X \):
  • Математическое ожидание \( E(X) = 3.0 \)
  • Дисперсия \( D(X) = 2.0 \)
  • Среднеквадратичное отклонение \( \sigma(X) \approx 1.41 \)