Определить значение параметра, при которых интеграл сходится

Данный вопрос относится к предмету математики, разделу математического анализа, а именно теории интегралов. Для того чтобы определить значения параметра \(\alpha\), при которых интеграл сходится, исследуем поведение подынтегральной функции на концах промежутка интегрирования, то есть в точках \(x = 0\) и \(x = 1\).

\[ I(\alpha) = \int_{0}^{1} \frac{dx}{x^{\alpha} + 1} \]

1. Исследование в окрестности \(x = 0\):

• Рассмотрим поведение функции в точке \(x = 0\).
• Для малых значений \(x\), \(x^{\alpha}\) доминирует над 1, и поэтому функция приблизительно равна \(\frac{1}{x^\alpha + 1} \approx \frac{1}{x^\alpha}\).
• Применим критерий сходимости интеграла \(\int_{0}^{a} \frac{dx}{x^{\beta}}\), который сходится, если \(\beta < 1\).
• В нашем случае, \(\beta=\alpha\), значит, интеграл \(\int_{0}^{1} \frac{dx}{x^{\alpha} + 1}\) в точке \(x = 0\) сходится, если \(\alpha < 1\).

2. Исследование в окрестности \(x = 1\):

• Рассмотрим поведение функции в точке \(x = 1\).
• Для значений \(x\), близких к 1, \(x^{\alpha}\) и 1 оказываются сравнимыми величинами.
• Для завершенности анализа, заметим, что \(\int_{a}^{b} f(x)\, dx \) всегда сходится, если \(f(x)\) ограничено на \([a, b]\) и \(a, b\) – конечные числа.
• Подынтегральная функция \(\frac{1}{x^\alpha + 1}\) ведет себя как ограниченная функция на \((0, 1)\), так что вблизи \(x = 1\) проблем не возникает для любых \(\alpha\).

Таким образом, критическое поведение наблюдается в точке \(x = 0\), и для этого случая интеграл будет сходиться, если \(\alpha < 1\).

Ответ: Для сходимости интеграла необходимо, чтобы параметр \(\alpha\) удовлетворял условию: \[ \boxed{\alpha < 1} \]