Определить значение параметра, при которых интеграл сходится

Данный вопрос относится к предмету математики, разделу математического анализа, а именно теории интегралов. Для того чтобы определить значения параметра $\text{(}\alpha \text{)}$, при которых интеграл сходится, исследуем поведение подынтегральной функции на концах промежутка интегрирования, то есть в точках $\text{(}x=0\text{)}$ и $\text{(}x=1\text{)}$.

$\text{[}I(\alpha )={\int }_0^1\frac{dx}{x^{\alpha }+1}\text{]}$

1. Исследование в окрестности $\text{(}x=0\text{)}$:

• Рассмотрим поведение функции в точке $\text{(}x=0\text{)}$.
• Для малых значений $\text{(}x\text{)}$, $\text{(}{x}^{\alpha }\text{)}$ доминирует над 1, и поэтому функция приблизительно равна $\text{(}\frac{1}{x^{\alpha }+1}\approx \frac{1}{x^{\alpha }}\text{)}$.
• Применим критерий сходимости интеграла $\text{(}{\int }_0^a\frac{dx}{x^{\beta }}\text{)}$, который сходится, если $\text{(}\beta <1\text{)}$.
• В нашем случае, $\text{(}\beta =\alpha \text{)}$, значит, интеграл $\text{(}{\int }_0^1\frac{dx}{x^{\alpha }+1}\text{)}$ в точке $\text{(}x=0\text{)}$ сходится, если $\text{(}\alpha <1\text{)}$.

2. Исследование в окрестности $\text{(}x=1\text{)}$:

• Рассмотрим поведение функции в точке $\text{(}x=1\text{)}$.
• Для значений $\text{(}x\text{)}$, близких к 1, $\text{(}{x}^{\alpha }\text{)}$ и 1 оказываются сравнимыми величинами.
• Для завершенности анализа, заметим, что $\text{(}{\int }_a^{b}f(x)dx\text{)}$ всегда сходится, если $\text{(}f(x)\text{)}$ ограничено на $\text{(}[a,b]\text{)}$ и $\text{(}a,b\text{)}$ – конечные числа.
• Подынтегральная функция $\text{(}\frac{1}{x^{\alpha }+1}\text{)}$ ведет себя как ограниченная функция на $\text{(}(0,1)\text{)}$, так что вблизи $\text{(}x=1\text{)}$ проблем не возникает для любых $\text{(}\alpha \text{)}$.

Таким образом, критическое поведение наблюдается в точке $\text{(}x=0\text{)}$, и для этого случая интеграл будет сходиться, если $\text{(}\alpha <1\text{)}$.

Ответ: Для сходимости интеграла необходимо, чтобы параметр $\text{(}\alpha \text{)}$ удовлетворял условию: $\text{[}\boxed{{\displaystyle \alpha <1}}\text{]}$