Определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение. Решить задачу Коши, если указано начальное условие

Перед нами стоит задача определения вида дифференциального уравнения и его решения, а также решения задачи Коши при заданных начальных условиях.

1. Определение типа дифференциального уравнения. Данное уравнение: \( y' = 4 + \frac{y}{x} + \left( \frac{y}{x} \right)^2 \) Это дифференциальное уравнение первого порядка, так как содержит первую производную \(y'\), а также \(y\) и \(x\).
2. Приведем уравнение к каноническому виду. Сначала обозначим \(v = \frac{y}{x}\). Тогда \(y = vx\), и производная \(y'\) выражается как: \( y' = v + x \frac{dv}{dx} \) Теперь подставим эти выражения в оригинальное уравнение: \[ v + x \frac{dv}{dx} = 4 + v + v^2 \]
3. Упростим уравнение: Отнимем \(v\) с обеих сторон: \[ x \frac{dv}{dx} = 4 + v^2 \]
4. Решим это дифференциальное уравнение методом разделения переменных: \[ \frac{dv}{4 + v^2} = \frac{dx}{x} \]
5. Интегрируем обе части уравнения: \[ \int \frac{dv}{4 + v^2} = \int \frac{dx}{x} \] Для интегрирования левой части можно использовать замену \( v = 2 \tan t \): \[ \int \frac{dv}{4 + v^2} = \int \frac{dv}{4 + 4 \tan^2 t} \] \[ = \frac{1}{4} \int \frac{dv}{1 + \tan^2 t} = \frac{1}{4} \int \frac{1}{\cos^2 t} dt = \frac{1}{4} \int \sec^2 t \, dt = \frac{1}{4} t + C \] Возвращаемся к переменной \( v \): \[ \frac{1}{2} \arctan \left( \frac{v}{2} \right) = \ln|x| + C \]
6. Найти общее решение: \[ \arctan \left( \frac{y}{2x} \right) = 2 \ln |x| + C \] или, после преобразования: \[ y = 2x \tan \left( 2 \ln |x| + C \right) \]
7. Решаем задачу Коши при начальном условии \( y(1) = 2 \): \[ 2 = 2 \cdot 1 \cdot \tan \left( 2 \ln |1| + C \right) \] \[ 2 = 2 \tan(C) \] \[ \tan(C) = 1 \] \[ C = \frac{\pi}{4} + k \pi \]
8. Подставим \( C = \frac{\pi}{4} \): \[ y = 2x \tan \left( 2 \ln |x| + \frac{\pi}{4} \right) \] Таким образом, уравнение для начальных условий имеет вид: \[ y = 2x \tan \left( 2 \ln |x| + \frac{\pi}{4} \right) \]