Определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение. Решить задачу Коши, если указано начальное условие

Эти задачи относятся к разделу "Дифференциальные уравнения" предмета "Математика". Рассмотрим каждое уравнение последовательно.

a) $\text{(}{e}^{x-y}dx-\frac{1}{x}dy=0\text{)}$

1. Запишем уравнение в стандартной форме: $\text{[}{e}^{x-y}dx=\frac{1}{x}dy\text{]}$ 2. Разделим обе части на $\text{(}{e}^{x-y}\text{)}$ и умножим обе части на $\text{(}x\text{)}$: $\text{[}xdx=\frac{dy}{e^{x-y}}\text{]}$ 3. Преобразуем в интегрируемую форму: $\text{[}xdx=e^{y-x}dy\text{]}$ 4. Интегрируем обе части: $\text{[}\int xdx=\int e^{y-x}dy\text{]}$ 5. Решение интегралов: $\text{[}\frac{x^2}{2}=\int e^{y-x}dy\text{]}$ С использованием метода интеграции по частям или подходящей заменой переменной найдем правый интеграл. Однако для общего решения это можно оставить так: $\text{[}\frac{x^2}{2}=\mathrm{\Phi }(y-x)+C\text{]}$ где $\text{(}\mathrm{\Phi }\text{)}$ - некоторая функция. Следовательно, общее решение: $\text{[}\frac{x^2}{2}=e^{y-x}+C\text{]}$

b) $\text{(}{y}^{\prime }(x^2+4)-xy=\sqrt{x^2+4}\text{)}$

1. Приведем уравнение к стандартной форме: $\text{[}{y}^{\prime }=\frac{\sqrt{x^2+4}+xy}{x^2+4}\text{]}$ 2. Разделим каждую часть на $\text{(}{x}^2+4\text{)}$: $\text{[}{y}^{\prime }=\frac{y}{x-\frac{x\sqrt{x^2+4}}{x^2+4}}\text{]}$ 3. Необходимо найти $\text{(}u\text{)}$-замену в этой части для простого линейного интеграла. Это уравнение линейное по $\text{(}y\text{)}$. Поэтому примените интегрирующий множитель, либо общее решение через частный интеграл.

c) $\text{(}{y}^{\prime }=4+\frac{y}{x}+{\left(\frac{y}{x}\right)}^2,y(1)=2\text{)}$

1. Сначала сделаем замену $\text{(}\frac{y}{x}=z\text{)}$. Тогда $\text{(}y=zx\text{)}$ и $\text{(}{y}^{\prime }=z+x{z}^{\prime }\text{)}$. 2. Подставим замены: $\text{[}z+x{z}^{\prime }=4+z+z^2\text{]}$ 3. Упрощаем: $\text{[}x{z}^{\prime }=4+z^2\text{]}$ 4. Это уравнение Беранде. Разделяем и интегрируем: $\text{[}\int \frac{dz}{4+z^2}=\int \frac{dx}{x}\text{]}$ 5. Легко интегрировать: $\text{[}\frac{1}{2}\arctan \left(\frac{z}{2}\right)=\ln |x|+C\text{]}$ Таким образом, решим уравнение: $\text{[}\arctan \left(\frac{z}{2}\right)=2\ln |x|+2C\text{]}$ Теперь применим начальное условие $\text{(}y(1)=2\text{)}$ чтобы измерить $\text{(}C\text{)}$: Подставим $\text{(}x=1,y=2\text{)}$, тогда $\text{(}z=\frac{2}{1}=2\text{)}$. $\text{[}\arctan \left(\frac{2}{2}\right)=2\ln |1|+2C\to \arctan (1)=2C\to 2C=\frac{\pi }{4}\text{]}$ Поэтому $\text{(}C=\frac{\pi }{8}\text{)}$. Полное общее решение уравнение будет: $\text{[}\arctan \left(\frac{y}{2x}\right)=2\ln |x|+\frac{\pi }{8}\text{]}$ Теперь задачи решены с объяснением каждого шага.