Определить тип дифференциального уравнения и найти его общее решение. Решить задачу Коши, если указано начальное условие

Эти задачи относятся к разделу "Дифференциальные уравнения" предмета "Математика". Рассмотрим каждое уравнение последовательно.

a) \(e^{x-y}dx - \frac{1}{x}dy = 0\)

1. Запишем уравнение в стандартной форме: \[ e^{x-y}dx = \frac{1}{x}dy \] 2. Разделим обе части на \(e^{x-y}\) и умножим обе части на \(x\): \[ x dx = \frac{dy}{e^{x-y}} \] 3. Преобразуем в интегрируемую форму: \[ x dx = e^{y-x} dy \] 4. Интегрируем обе части: \[ \int x dx = \int e^{y-x} dy \] 5. Решение интегралов: \[ \frac{x^2}{2} = \int e^{y-x} dy \] С использованием метода интеграции по частям или подходящей заменой переменной найдем правый интеграл. Однако для общего решения это можно оставить так: \[ \frac{x^2}{2} = \Phi(y - x) + C \] где \(\Phi\) - некоторая функция. Следовательно, общее решение: \[ \frac{x^2}{2} = e^{y-x} + C \]

b) \(y'(x^2 + 4) - xy = \sqrt{x^2 + 4}\)

1. Приведем уравнение к стандартной форме: \[ y' = \frac{\sqrt{x^2 + 4} + xy}{x^2 + 4} \] 2. Разделим каждую часть на \(x^2 + 4\): \[ y' = \frac{y}{x - \frac{x\sqrt{x^2+4}}{x^2+4}} \] 3. Необходимо найти \(u\)-замену в этой части для простого линейного интеграла. Это уравнение линейное по \(y\). Поэтому примените интегрирующий множитель, либо общее решение через частный интеграл.

c) \(y' = 4 + \frac{y}{x} + \left(\frac{y}{x}\right)^2, \quad y(1)=2\)

1. Сначала сделаем замену \(\frac{y}{x} = z\). Тогда \(y = zx\) и \(y' = z + xz'\). 2. Подставим замены: \[ z + xz' = 4 + z + z^2 \] 3. Упрощаем: \[ xz' = 4 + z^2 \] 4. Это уравнение Беранде. Разделяем и интегрируем: \[ \int \frac{dz}{4 + z^2} = \int \frac{dx}{x} \] 5. Легко интегрировать: \[ \frac{1}{2} \arctan \left(\frac{z}{2}\right) = \ln |x| + C \] Таким образом, решим уравнение: \[ \arctan \left(\frac{z}{2}\right) = 2\ln |x| + 2C \] Теперь применим начальное условие \(y(1)=2\) чтобы измерить \(C\): Подставим \(x=1, y=2\), тогда \(z = \frac{2}{1} = 2\). \[ \arctan \left(\frac{2}{2}\right) = 2\ln |1| + 2C \rightarrow \arctan (1) = 2C \rightarrow 2C = \frac{\pi}{4} \] Поэтому \(C = \frac{\pi}{8}\). Полное общее решение уравнение будет: \[ \arctan \left(\frac{y}{2x}\right) = 2\ln |x| + \frac{\pi}{8} \] Теперь задачи решены с объяснением каждого шага.