Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Определить минимальное значение n, при котором формула трапеций обеспечивает вычисление определенного интеграла
Условие:
Решение:
```html
Предмет: Математика Раздел предмета: Численные методы Задание: Определить минимальное значение \(n\), при котором формула трапеций обеспечивает вычисление определенного интеграла \(\int_{1}^{5} \ln{x} \, dx\) с точностью до 0.001.
Решение:
Формула трапеций для численного вычисления интеграла: \[ I \approx \frac{h}{2} \left( f(x_0) + 2 \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i) + f(x_n) \right) \] где \( h = \frac{b-a}{n} \). Погрешность метода трапеций оценивается как: \[ E \approx -\frac{(b-a)^3}{12n^2} f''(ξ) \] где \(\xi \in [a, b]\). Для нашего интеграла: \[ a = 1, \quad b = 5, \quad f(x) = \ln{x} \]1. Вычисление второй производной от \( \ln{x} \)
\[ f(x) = \ln{x} \] \[ f'(x) = \frac{1}{x} \] \[ f''(x) = -\frac{1}{x^2} \] Максимум \( |f''(x)| \) на отрезке \([1, 5]\) достигается при \( x = 1 \): \[ \max_{x \in [1, 5]} |f''(x)| = 1 \]2. Подставляем значения в формулу для погрешности:
\[ E \leq \frac{(5-1)^3}{12n^2} \cdot 1 = \frac{64}{12n^2} \]3. Найти минимальное \(n\), чтобы погрешность была меньше 0.001:
\[ \frac{64}{12n^2} \leq 0.001 \] \[ \frac{64}{0.001} \leq 12n^2 \] \[ 64000 \leq 12n^2 \] \[ 5333.33 \leq n^2 \] \[ n \geq \sqrt{5333.33} \] \[ n \geq 73.04 \] Таким образом, минимальное \( n \), чтобы погрешность была меньше 0.001: \[ n = 74 \] Ответ: 74 ```
Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку