Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика.

Раздел: Случайные величины, математическое ожидание и дисперсия.

Шаг 1. Определим частоты появления значений.

Заданы следующие значения случайной величины: \[ 6, 3, 5, 6, 6, 1, 1, 2, 6, 6, 4, 3, 4, 1, 6, 5, 4, 5, 6 \]

Предварительно определим, насколько часто каждое значение встречается:

• Значение 1: встречается 3 раза.
• Значение 2: встречается 1 раз.
• Значение 3: встречается 2 раза.
• Значение 4: встречается 3 раза.
• Значение 5: встречается 3 раза.
• Значение 6: встречается 7 раз.

Общая длина последовательности (объем выборки): \[ n = 19 \]

Шаг 2: Найдем вероятности для каждого значения случайной величины.

Вероятность каждого значения \( k \) пропорциональна частоте его появления в выборке. Вероятность события \( P(X = k) \) равна:

• \( P(X = 1) = \frac{3}{19} \)
• \( P(X = 2) = \frac{1}{19} \)
• \( P(X = 3) = \frac{2}{19} \)
• \( P(X = 4) = \frac{3}{19} \)
• \( P(X = 5) = \frac{3}{19} \)
• \( P(X = 6) = \frac{7}{19} \)

Шаг 3: Вычислим математическое ожидание \( E(X) \).

Математическое ожидание рассчитывается по формуле: \[ E(X) = \sum_{i=1}^{k} x_i \cdot P(X = x_i) \]

Подставим значения для каждой случайной величины, используя распределенные вероятности: \[ E(X) = 1 \cdot \frac{3}{19} + 2 \cdot \frac{1}{19} + 3 \cdot \frac{2}{19} + 4 \cdot \frac{3}{19} + 5 \cdot \frac{3}{19} + 6 \cdot \frac{7}{19} \]

Теперь произведем вычисления: \[ E(X) = \frac{3}{19} + \frac{2}{19} + \frac{6}{19} + \frac{12}{19} + \frac{15}{19} + \frac{42}{19} \]

Сложим дроби: \[ E(X) = \frac{80}{19} \approx 4.21 \]

Математическое ожидание \( E(X) \approx 4.21 \).

Шаг 4: Вычислим дисперсию \( D(X) \).

Формула дисперсии случайной величины: \[ D(X) = E(X^2) - \left[E(X)\right]^2 \]

Где \( E(X^2) \) — математическое ожидание квадрата случайной величины.

Сначала вычислим \( E(X^2) \): \[ E(X^2) = 1^2 \cdot \frac{3}{19} + 2^2 \cdot \frac{1}{19} + 3^2 \cdot \frac{2}{19} + 4^2 \cdot \frac{3}{19} + 5^2 \cdot \frac{3}{19} + 6^2 \cdot \frac{7}/19 \]

Расчеты: \[ E(X^2) = 1 \cdot \frac{3}/19 + 4 \cdot \frac{1}/19 + 9 \cdot \frac{2}/19 + 16 \cdot \frac{3}/19 + 25 \cdot \frac{3}/19 + 36 \cdot \frac{7}/19 \]

\[ E(X^2) = \frac{3}/19 + \frac{4}/19 + \frac{18}/19 + \frac{48}/19 + \frac{75}/19 + \frac{252}/19 \]

\[ E(X^2) = \frac{400}/19 \approx 21.05 \]

Теперь можем найти дисперсию: \[ D(X) = E(X^2) - \left[E(X)\right]^2 = 21.05 - (4.21)^2 \]

\[ D(X) \approx 21.05 - 17.73 = 3.32 \]

Ответ:

Математическое ожидание \( E(X) \approx 4.21 \).

Дисперсия \( D(X) \approx 3.32 \).