Определение теоретического закона распределения случайной величины и проверке согласованности эмпирического и теоретического распределений по критерию Пирсона

Предмет: Математическая статистика

Раздел: Проверка гипотез, критерий согласия Пирсона

Решение:

Задача состоит в определении теоретического закона распределения случайной величины и проверке согласованности эмпирического и теоретического распределений по критерию Пирсона при уровне значимости \alpha = 0.05.

Шаги решения:

1. Построение статистического ряда

   • Определяем минимальное и максимальное значения выборки.
   • Разбиваем данные на интервалы.
   • Строим гистограмму частот.

2. Выбор теоретического распределения

   • Проверяем, к какому известному распределению (нормальному, экспоненциальному и т. д.) приближается эмпирическое распределение.
   • Оцениваем параметры теоретического распределения (например, математическое ожидание и дисперсию для нормального распределения).

3. Формирование таблицы для критерия Пирсона

   • Определяем ожидаемые частоты на основе выбранного теоретического распределения.
   • Вычисляем статистику критерия Пирсона:

4.  \chi^2 = \sum \frac{(n_i - m_i)^2}{m_i} 

   где:

   • n_i — наблюдаемая частота в i-м интервале,
   • m_i — ожидаемая частота в i-м интервале.

5. Сравнение с критическим значением

   • Определяем число степеней свободы:
     k = \text{число интервалов} - \text{число оцениваемых параметров} - 1.
   • Находим критическое значение \chi^2_{кр} из таблицы распределения хи-квадрат.
   • Если \chi^2 \leq \chi^2_{кр}, гипотеза о согласованности принимается, иначе — отвергается.

Дальнейшие действия:

• Провести расчеты для конкретной выборки.
• Определить, подходит ли выбранное теоретическое распределение.
• Сделать вывод о согласованности статистического и теоретического распределений.

Если нужна конкретная реализация расчетов, уточните, для какой выборки (1, 2 или 3) требуется выполнить проверку.