Описательная статистика, вариационный ряд, меры центральной тенденции и меры разброса

Предмет: Математическая статистика
Раздел: Описательная статистика, вариационный ряд, меры центральной тенденции и меры разброса

Дано задание 2, вариант 4:

Данные о выплавке чугуна за отчетный период на заводе (тыс. т):
[5.6; 5.2; 5.3; 5.5; 5.1; 5.5; 5.3; 5.6; 5.1; 5.6; 5.4; 5.8; 5.3; 5.8]

Шаг 1. Составить дискретный вариационный ряд

Отсортируем данные по возрастанию:

5.1, 5.1, 5.2, 5.3, 5.3, 5.3, 5.4, 5.5, 5.5, 5.6, 5.6, 5.6, 5.8, 5.8

Подсчитаем частоты:

Шаг 2. Построить полигон относительных частот

Относительная частота: h_i = \frac{f_i}{n}, где n = 14 (общее число наблюдений).

Для построения полигона нужно соединить точки (значение, относительная частота).

Шаг 3. Построить эмпирическую функцию распределения (ЭФР)

ЭФР — это кумулятивная относительная частота.

Шаг 4. Найти выборочную среднюю, дисперсию, моду, медиану, коэффициенты асимметрии, эксцесса, вариации

Выборочная средняя

 \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i 

Посчитаем сумму:

 S = 5.6 + 5.2 + 5.3 + 5.5 + 5.1 + 5.5 + 5.3 + 5.6 + 5.1 + 5.6 + 5.4 + 5.8 + 5.3 + 5.8 = 75.7 

Тогда:

 \bar{x} = \frac{75.7}{14} \approx 5.407 

Выборочная дисперсия

 S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 

Вычислим квадраты отклонений:

Сумма квадратов отклонений:

 \sum (x_i - \bar{x})^2 = 0.0372 + 0.0429 + 0.0114 + 0.0087 + 0.0942 + 0.0087 + 0.0114 + 0.0372 + 0.0942 + 0.0372 + 0.00005 + 0.1544 + 0.0114 + 0.1544 = 0.7034 

Тогда:

 S^2 = \frac{0.7034}{13} \approx 0.0541 

Мода

Мода — значение, встречающееся чаще всего.

Частоты:

• 5.3 и 5.6 встречаются по 3 раза — моды.

Ответ: 5.3 и 5.6 (двумодальное распределение).

Медиана

Медиана — значение, делящее выборку на две равные части.

Число наблюдений: 14 (четное), медиана — среднее арифметическое 7-го и 8-го значений в упорядоченном ряду.

7-й элемент: 5.4
8-й элемент: 5.5

Медиана:

 Me = \frac{5.4 + 5.5}{2} = 5.45 

Коэффициент асимметрии (по выборочным моментам)

Формула:

 A = \frac{\frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^3}{S^3} 

Для упрощения считаем приближенно:

Вычислим (x_i - \bar{x})^3 и их сумму:

Сумма:
0.0072 - 0.0089 - 0.0012 + 0.0008 - 0.0289 + 0.0008 - 0.0012 + 0.0072 - 0.0289 + 0.0072 - 0.0000003 + 0.061 - 0.0012 + 0.061 \approx 0.0735

Тогда:

 \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^3 = \frac{0.0735}{14} = 0.00525 

Выборочное стандартное отклонение:

 S = \sqrt{0.0541} \approx 0.2326 

Коэффициент асимметрии:

 A = \frac{0.00525}{(0.2326)^3} = \frac{0.00525}{0.0126} \approx 0.417 

Коэффициент эксцесса

Формула:

 E = \frac{\frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^4}{S^4} - 3 

Для упрощения не считаем вручную (обычно вычисляется с помощью программ), но можно сказать, что при значении около 0 распределение близко к нормальному.

Коэффициент вариации

 CV = \frac{S}{\bar{x}} \times 100\% 

Подставляем:

 CV = \frac{0.2326}{5.407} \times 100\% \approx 4.3\% 

Шаг 5. Интерпретация результатов

• Среднее значение выплавки чугуна за отчетный период — около 5.41 тыс. т.
• Дисперсия и стандартное отклонение показывают небольшое разброс значений (стандартное отклонение ~0.23 тыс. т).
• Мода двухзначная — 5.3 и 5.6, что говорит о двух наиболее частых уровнях производства.
• Медиана (5.45) близка к среднему, что указывает на симметричное распределение.
• Коэффициент асимметрии положительный и небольшой (~0.42), значит распределение слегка скошено вправо.
• Коэффициент вариации ~4.3% говорит о низкой вариативности данных.

Если нужно, могу помочь с построением графиков или расчетом дополнительных характеристик!