Непрерывные случайные величины

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика

Раздел: Непрерывные случайные величины

Давайте подробно разберем каждый пункт:

Дано:

Функция распределения \( F(x) \) случайной величины \( X \) имеет вид:

\[ F(x) = \begin{cases} 0, \text{ если } x < 1; \\ a(x^2 - x), \text{ если } 1 \leq x \leq 2; \\ 1, \text{ если } x > 2. \end{cases} \]

Часть а) Определить значение параметра \( a \) и вероятность \( P(X < 1.5) \)

1. Определение параметра \( a \): Согласно свойствам функции распределения (ФР), она должна быть непрерывной и принимать значение 1 при \( x \to \infty \). Поэтому при \( x = 2 \) функция распределения должна быть равна 1:

   \[ F(2) = a(2^2 - 2) = 1. \]

   Раскроем скобки:

   \[ a(4 - 2) = 1 \quad \Rightarrow \quad a \cdot 2 = 1 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{1}{2}. \]

   Итак, параметр \( a = \frac{1}{2} \).

2. Вычисление \( P(X < 1.5) \): Вероятность \( P(X < 1.5) \) можно найти через функцию распределения:

   \[ P(X < 1.5) = F(1.5). \]

   Для \( x = 1.5 \) используем выражение для функции распределения в промежутке \( 1 \leq x \leq 2 \). Подставляем \( x = 1.5 \) в выражение функции распределения:

   \[ F(1.5) = \frac{1}{2}(1.5^2 - 1.5) = \frac{1}{2}(2.25 - 1.5) = \frac{1}{2} \cdot 0.75 = 0.375. \]

   Таким образом, \( P(X < 1.5) = 0.375 \).

Часть б) Найти функцию плотности \( f(x) \)

Функция плотности \( f(x) \) — это производная функции распределения \( F(x) \) по \( x \):

1. Для \( x < 1 \), \( F(x) = 0 \), следовательно, \( f(x) = 0 \).
2. Для \( 1 \leq x \leq 2 \), \( F(x) = \frac{1}{2}(x^2 - x) \), следовательно:

   \[ f(x) = \frac{d}{dx}\left( \frac{1}{2}(x^2 - x) \right) = \frac{1}{2}(2x - 1) = x - \frac{1}{2}. \]

3. Для \( x > 2 \), \( F(x) = 1 \), следовательно, \( f(x) = 0 \).

Итак:

\[ f(x) = \begin{cases} 0, \text{ если } x < 1; \\ x - \frac{1}{2}, \text{ если } 1 \leq x \leq 2; \\ 0, \text{ если } x > 2. \end{cases} \]

Часть в) Найти математическое ожидание \( M(X) \)

Математическое ожидание \( M(X) \) вычисляется по формуле:

\[ M(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) \, dx. \]

Так как функция плотности \( f(x) = 0 \) вне промежутка от 1 до 2, интегрируем только в пределах от 1 до 2:

\[ M(X) = \int_{1}^{2} x \left( x - \frac{1}{2} \right) dx. \]

Раскроем выражение:

\[ M(X) = \int_{1}^{2} (x^2 - \frac{1}{2}x) dx. \]

Теперь по отдельности возьмем интегралы:

1. \[ \int_{1}^{2} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_1^2 = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}. \]

2. \[ \int_{1}^{2} \frac{1}{2}x \, dx = \frac{1}{2} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_1^2 = \frac{1}{2} \left( 2 - \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4}. \]

Следовательно:

\[ M(X) = \frac{7}{3} - \frac{3}{4}. \]

Приведем к общему знаменателю (12):

\[ M(X) = \frac{28}{12} - \frac{9}{12} = \frac{19}{12}. \]

Ответ:

• а) Параметр \( a = \frac{1}{2} \), \( P(X < 1.5) = 0.375 \).
• б) Функция плотности \( f(x) = \begin{cases} 0, если x < 1; \\ x - \frac{1}{2}, если 1 \leq x \leq 2; \\ 0, если x > 2. \end{cases} \).
• в) Математическое ожидание \( M(X) = \frac{19}{12} \).

Таким образом, \( M(X) = \frac{19}{12} \).