Необходимо провести статистический анализ

Предмет: Математика
Раздел: Математическая статистика

Дано: результаты теста (количество верно решённых заданий студентами). Необходимо провести статистический анализ.

Шаг 1: Составим дискретный вариационный ряд

Для начала выпишем все значения и посчитаем частоты.

Из изображения видно, что значения варьируются от 0 до 7. Посчитаем, сколько раз встречается каждое значение:

Дискретный вариационный ряд:

 \begin{array}{c|c} x_i & n_i \ \hline 0 & 10 \ 1 & 17 \ 2 & 19 \ 3 & 22 \ 4 & 27 \ 5 & 18 \ 6 & 5 \ 7 & 2 \ \end{array} 

Шаг 2: Построим полигон частот

Для построения полигона частот по оси X откладываем значения признака (x_i), по оси Y — соответствующие частоты (n_i). Построим график (можно в Excel или вручную, здесь опишем принцип построения).

Шаг 3: Найдём моду, медиану и размах

• Мода (Mo) — значение, которое встречается чаще всего.
  Из таблицы видно, что чаще всего встречается 4:
  [Mo = 4]

• Медиана (Me) — значение, делящее упорядоченный ряд пополам.
  Всего наблюдений: 120, медиана будет средним между 60-м и 61-м значением.
  Посчитаем накопленные частоты:

  • 0: 10
  • 1: 10 + 17 = 27
  • 2: 27 + 19 = 46
  • 3: 46 + 22 = 68

• Значит, 60-е и 61-е значения — это 3.
  [Me = 3]

• Размах (R) — разность между максимальным и минимальным значением: [R = 7 - 0 = 7]

Шаг 4: Вычислим характеристики

Выборочная средняя:

 \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^k x_i n_i 

 \bar{x} = \frac{1}{120} (0 \cdot 10 + 1 \cdot 17 + 2 \cdot 19 + 3 \cdot 22 + 4 \cdot 27 + 5 \cdot 18 + 6 \cdot 5 + 7 \cdot 2) = \frac{403}{120} \approx 3.36 

Смещённая выборочная дисперсия:

 D_B = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^k n_i (x_i - \bar{x})^2 

Посчитаем:

 D_B = \frac{1}{120} \left(10(0 - 3.36)^2 + 17(1 - 3.36)^2 + ... + 2(7 - 3.36)^2 \right) \approx 2.79 

Исправленная выборочная дисперсия:

 S^2 = \frac{n}{n - 1} D_B = \frac{120}{119} \cdot 2.79 \approx 2.81 

Среднее квадратическое отклонение:

 S = \sqrt{S^2} \approx \sqrt{2.81} \approx 1.68 

Шаг 5: Вывод

• Наиболее часто встречающееся значение — 4.
• Медиана — 3, а среднее значение — 3.36, что говорит о небольшой асимметрии в сторону больших значений.
• Размах — 7, что говорит о широком разбросе.
• Дисперсия 2.81, стандартное отклонение 1.68 — умеренный разброс значений.

Вывод: большинство студентов решают от 3 до 5 заданий, что соответствует средней успеваемости. Есть как слабые (0–1), так и сильные (6–7) студенты, но их значительно меньше.