Найти значения параметра alpha, при которых сходится интеграл

Этот вопрос относится к предмету "математика", в частности к разделу "интегралы" (интегральное исчисление).

Нам нужно найти значения параметра \(\alpha\), при которых сходится интеграл: \[ \int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{x^\alpha + 1}. \]

Рассмотрим поведение этого интеграла при различных значениях \(\alpha\).

1. Анализ на бесконечности: Во-первых, рассмотрим поведение функции подинтегрального выражения на бесконечности (\(x\) стремится к бесконечности). Если \(\alpha > 0\), то при \(x \to \infty\), \(x^\alpha\) также будет стремиться к бесконечности, и \(\frac{1}{x^\alpha + 1}\) будет стремиться к 0. Однако важен темп стремления. Для того чтобы интеграл сходился, \(\frac{1}{x^\alpha + 1}\) должно стремиться к 0 достаточно быстро.
2. Сравнение с базовым интегралом: Чтобы выяснить, сходится ли наш интеграл, можно сравнить его с базовым интегралом, для которого известны условия сходимости: \[ \int_{1}^{+\infty} \frac{dx}{x^\alpha}. \] Этот интеграл сходится, когда \(\alpha > 1\). Чтобы применить этот вывод в нашем случае, можно сказать, что если \(\alpha > 1\), то \(x^\alpha \) растет быстрее, чем константа \(1\), а значит поведение \( \frac{1}{x^\alpha + 1}\) будет аналогичным асимптотически, как \( \frac{1}{x^\alpha} \).

Таким образом,

• При \(\alpha \leq 1\), \( \frac{1}{x^\alpha + 1}\) не будет стремиться к нулю достаточно быстро, чтобы интеграл сходился.
• При \(\alpha > 1\), \( \frac{1}{x^\alpha + 1}\) стремится к нулю достаточно быстро, и интеграл будет сходиться.

Следовательно, правильный ответ: \[ \boxed{\text{при всех } \alpha > 0} \]