Найти значение параметра alpha методом цилиндрических слоев

Это задание относится к предмету "Математика", раздел "Интегральное исчисление" или "Объем тел вращения".

Чтобы найти значение параметра \(\alpha\), при котором объем тела, образованного вращением вокруг оси \(Ox\) заштрихованной фигуры, равен \(\frac{\alpha \pi}{21}\), нужно использовать метод цилиндрических слоев. В данном случае функция \(y = 2 - x\) и функция \(y = x^3\) задают границы интегрирования. Найдем точки пересечения этих функций: \[ 2 - x = x^3 \Rightarrow x^3 + x - 2 = 0. \]

Подставим подходящие значения \(x\), чтобы найти корни уравнения: \[ x = 1 \Rightarrow 1 + 1 - 2 = 0. \] Следовательно, \(x = 1\) — это корень уравнения. Теперь для определения объемного вращения воспользуемся формулой: \[ V = \pi \int_{a}^{b} (R^2 - r^2) \, dx, \] где \(R = 2 - x\) — внешняя функция, \(r = x^3\) — внутренняя функция. \[ V = \pi \int_{0}^{1} ((2 - x)^2 - (x^3)^2) \, dx. \]

Раскроем скобки и упростим интеграл: \[ (2 - x)^2 = 4 - 4x + x^2, \quad (x^3)^2 = x^6. \] Следовательно, \[ V = \pi \int_{0}^{1} (4 - 4x + x^2 - x^6) \, dx. \] Выполним интегрирование каждого члена по отдельности: \[ \int 4 \, dx = 4x, \quad \int -4x \, dx = -2x^2, \quad \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}, \quad \int -x^6 \, dx = -\frac{x^7}{7}. \] Теперь подставим пределы \(0\) и \(1\):

\[ \left[ 4x - 2x^2 + \frac{x^3}{3} - \frac{x^7}{7} \right]_{0}^{1} = \left( 4(1) - 2(1)^2 + \frac{(1)^3}{3} - \frac{(1)^7}{7} \right) - \left( 4(0) - 2(0)^2 + \frac{(0)^3}{3} - \frac{(0)^7}{7} \right) \]

\[ = 4 - 2 + \frac{1}{3} - \frac{1}{7} \] Приведем к общему знаменателю \(21\):

\[ = 4 - 2 + \frac{7}{21} - \frac{3}{21} = 2 + \frac{4}{21} = \frac{42}{21} + \frac{4}{21} = \frac{46}{21}. \] Итак, объем: \[ V = \pi \times \frac{46}{21}. \] По условию задачи: \[ \frac{\alpha \pi}{21} = \pi \times \frac{46}{21}. \] Отсюда: \[ \alpha = 46. \] Следовательно, ответ: \( \alpha = 46 \).