Найти: Значение параметра a 2. Функцию распределения F(x) 3. Математическое ожидание 4. Построить графики f(x) и F(x)

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика
Раздел: Случайные величины и их распределения (непрерывные случайные величины, плотность распределения, функция распределения, математическое ожидание)

Задание:

Дана плотность распределения случайной величины:

 f(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \ ax^2, & 0 \le x < 2 \ a(4 - x), & 2 \le x < 4 \ 0, & x \ge 4 \end{cases} 

Найти:

1. Значение параметра a
2. Функцию распределения F(x)
3. Математическое ожидание \mathbb{E}[X]
4. Построить графики f(x) и F(x)

1. Нахождение параметра a

Так как f(x) — это плотность распределения, то по определению:

 \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1 

Подставим кусочную функцию:

 \int_{0}^{2} ax^2 \, dx + \int_{2}^{4} a(4 - x) \, dx = 1 

Посчитаем интегралы:

 \int_{0}^{2} ax^2 \, dx = a \int_{0}^{2} x^2 \, dx = a \cdot \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^2 = a \cdot \frac{8}{3} 

 \int_{2}^{4} a(4 - x) \, dx = a \int_{2}^{4} (4 - x) \, dx = a \cdot \left[4x - \frac{x^2}{2}\right]_2^4 

Вычислим:

 \left[4x - \frac{x^2}{2}\right]_2^4 = \left(4 \cdot 4 - \frac{4^2}{2}\right) - \left(4 \cdot 2 - \frac{2^2}{2}\right) = (16 - 8) - (8 - 2) = 8 - 6 = 2 

Таким образом:

 a \cdot \frac{8}{3} + a \cdot 2 = 1 \Rightarrow a \left(\frac{8}{3} + 2\right) = 1 \Rightarrow a \cdot \frac{14}{3} = 1 \Rightarrow a = \frac{3}{14} 

2. Функция распределения F(x)

Функция распределения:

 F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt 

Рассмотрим по частям:

• Для x < 0:

 F(x) = 0 

• Для 0 \le x < 2:

 F(x) = \int_0^x a t^2 \, dt = a \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{3}{14} \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{x^3}{14} 

• Для 2 \le x < 4:

 F(x) = \int_0^2 a t^2 \, dt + \int_2^x a(4 - t) \, dt = \frac{8}{14} + a \cdot \left[4t - \frac{t^2}{2}\right]_2^x 

 = \frac{4}{7} + \frac{3}{14} \cdot \left(4x - \frac{x^2}{2} - (8 - 2)\right) = \frac{4}{7} + \frac{3}{14} \cdot \left(4x - \frac{x^2}{2} - 6\right) 

 = \frac{4}{7} + \frac{3}{14}(4x - \frac{x^2}{2} - 6) 

• Для x \ge 4:

 F(x) = 1 

Итак, функция распределения:

 F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \ \frac{x^3}{14}, & 0 \le x < 2 \ \frac{4}{7} + \frac{3}{14}(4x - \frac{x^2}{2} - 6), & 2 \le x < 4 \ 1, & x \ge 4 \end{cases} 

3. Математическое ожидание \mathbb{E}[X]

По определению:

 \mathbb{E}[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx = \int_0^2 x \cdot a x^2 dx + \int_2^4 x \cdot a(4 - x) dx 

Посчитаем:

 \int_0^2 ax^3 dx = a \cdot \left[\frac{x^4}{4}\right]_0^2 = a \cdot \frac{16}{4} = 4a 

 \int_2^4 x a(4 - x) dx = a \int_2^4 (4x - x^2) dx = a \cdot \left[2x^2 - \frac{x^3}{3}\right]_2^4 

Посчитаем:

 2x^2 - \frac{x^3}{3} \bigg|_2^4 = (2 \cdot 16 - \frac{64}{3}) - (2 \cdot 4 - \frac{8}{3}) = (32 - \frac{64}{3}) - (8 - \frac{8}{3}) = \frac{96 - 64 - 24 + 8}{3} = \frac{16}{3} 

Итак:

 \mathbb{E}[X] = 4a + a \cdot \frac{16}{3} = a \cdot \left(4 + \frac{16}{3}\right) = a \cdot \frac{28}{3} = \frac{3}{14} \cdot \frac{28}{3} = 2 

Ответ:

• Параметр a = \frac{3}{14}
• Функция распределения:

 F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \ \frac{x^3}{14}, & 0 \le x < 2 \ \frac{4}{7} + \frac{3}{14}(4x - \frac{x^2}{2} - 6), & 2 \le x < 4 \ 1, & x \ge 4 \end{cases} 

• Математическое ожидание: \mathbb{E}[X] = 2

4. Графики

Построим графики функций f(x) и F(x):

📈 График плотности f(x) — кусочная парабола и линейная часть
📈 График функции распределения F(x) — гладко возрастающая функция от 0 до 1

(Если хочешь, я могу построить графики — просто скажи!)