Найти выборочный коэффициент линейной корреляции по таблице

Предмет: Математика
Раздел: Математическая статистика, корреляционный анализ

Шаг 1: Найдём выборочный коэффициент линейной корреляции Пирсона

Обозначим выборки:

X = [1, 3, 3, 1, 2, 3, 2, 2]
Y = [2, 4, 3, 2, 2, 5, 2, 4]

Число наблюдений:
n = 8

Формула для вычисления выборочного коэффициента корреляции Пирсона:

 r = \frac{ \sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) }{ \sqrt{ \sum (x_i - \bar{x})^2 } \cdot \sqrt{ \sum (y_i - \bar{y})^2 } } 

Шаг 2: Вычислим средние значения

 \bar{x} = \frac{1 + 3 + 3 + 1 + 2 + 3 + 2 + 2}{8} = \frac{17}{8} = 2.125 

 \bar{y} = \frac{2 + 4 + 3 + 2 + 2 + 5 + 2 + 4}{8} = \frac{24}{8} = 3 

Шаг 3: Вычислим числитель и знаменатель

Создадим таблицу для промежуточных вычислений:

Теперь просуммируем:

 \sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = 1.125 + 0.875 + 0 + 1.125 + 0.125 + 1.75 + 0.125 - 0.125 = 4.0 

 \sum (x_i - \bar{x})^2 = 1.266 + 0.766 + 0.766 + 1.266 + 0.016 + 0.766 + 0.016 + 0.016 = 4.872 

 \sum (y_i - \bar{y})^2 = 1 + 1 + 0 + 1 + 1 + 4 + 1 + 1 = 10 

Шаг 4: Подставим в формулу

 r = \frac{4.0}{\sqrt{4.872} \cdot \sqrt{10}} = \frac{4.0}{2.207 \cdot 3.162} \approx \frac{4.0}{6.983} \approx 0.573 

Шаг 5: Проверим статистическую значимость

Проверим гипотезу:

• H_0: \rho = 0 (нет корреляции)
• H_1: \rho \ne 0 (корреляция есть)

Используем t-критерий:

 t = \frac{r \sqrt{n - 2}}{\sqrt{1 - r^2}} = \frac{0.573 \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{1 - 0.573^2}} = \frac{0.573 \cdot 2.449}{\sqrt{1 - 0.328}} = \frac{1.404}{\sqrt{0.672}} \approx \frac{1.404}{0.820} \approx 1.712 

Степени свободы: n - 2 = 6

Критическое значение t для уровня значимости 0.05 (двусторонний тест) и 6 степеней свободы:
t_{crit} \approx 2.447

Вывод:

Так как t_{набл} = 1.712 < t_{crit} = 2.447,
гипотеза H_0 не отвергается на уровне значимости 0.05.

Следовательно, выборочный коэффициент корреляции r \approx 0.573 не является статистически значимым при уровне значимости 0.05.