Найти вероятность события

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика
Раздел: Нормальное распределение

Решение:

Пусть случайная величина ( X ) распределена нормально:
X \sim N(\mu, \sigma^2),
где математическое ожидание ( \mu ) неизвестно, а стандартное отклонение ( \sigma = 2 ).

Нам нужно найти вероятность события:
P(|X - \mu| > 0.5).

Это можно записать как сумму двух вероятностей:
P(X - \mu > 0.5) + P(X - \mu < -0.5).

Введем стандартную нормированную величину:
Z = \frac{X - \mu}{\sigma},
которая распределена по стандартному нормальному закону ( N(0,1) ).

Тогда:
P\left(\frac{X - \mu}{2} > \frac{0.5}{2}\right) = P(Z > 0.25).

Из таблицы функции Лапласа или стандартного нормального распределения:
P(Z > 0.25) = 1 - \Phi(0.25) \approx 1 - 0.5987 = 0.4013.

Так как нормальное распределение симметрично,
P(|X - \mu| > 0.5) = 2 \cdot 0.4013 = 0.8026.

Ответ:

0.80 (с точностью до двух знаков после запятой).