Найти вероятность четырех попаданий при пяти выстрелах

Это задание по теме "Теория вероятностей" из курса математики. Определим основную информацию и наши шаги для решения:

1. Формулировка задачи:

• Вероятность хотя бы одного попадания при двух выстрелах равна 0,99.
• Необходимо найти вероятность четырех попаданий при пяти выстрелах.

2. Обозначения и вводные данные:

• Пусть \( p \) — вероятность попадания при одном выстреле.
• Пусть \( q \) — вероятность промаха, тогда \( q = 1 - p \).

3. Нахождение вероятности попадания \( p \):

• Используем данное о вероятности хотя бы одного попадания при двух выстрелах:
• Вероятность хотя бы одного попадания = \( 1 - \) вероятность ни одного попадания. Запишем уравнение:
• \[ 0,99 = 1 - (1 - p)^2 \]
• Раскроем скобки:
• \[ 0,99 = 1 - (1 - 2p + p^2) \]
• \[ 0,99 = 2p - p^2 \]
• Переносим всё в одну сторону и приводим к стандартному виду:
• \[ p^2 - 2p + 0,99 = 0 \]
• Решаем это квадратное уравнение:
• \[ p = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 3,96}}{2} \]
• \[ p = \frac{2 \pm \sqrt{0,04}}{2} \]
• \[ p = \frac{2 \pm 0,2}{2} \]
• Получаем два решения:
• \[ p = \frac{2 + 0,2}{2} = 1,1 \]
• \[ p = \frac{2 - 0,2}{2} = 0,9 \]
• Так как вероятность \( p \) не может быть больше 1, то \( p = 0,9 \).

4. Нахождение вероятности четырех попаданий при пяти выстрелах:

• Используем биномиальное распределение вероятностей:
• Формула биномиального распределения:
• \[ P(X = k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]
• где:
• • \( n \) — общее количество испытаний (выстрелов);
  • \( k \) — количество успешных испытаний (попаданий);
  • \( p \) — вероятность успеха;
  • \( C_n^k \) — биномиальный коэффициент, равный \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\).
• Для данного задания:
• • \( n = 5 \)
  • \( k = 4 \)
  • \( p = 0,9 \)
• Подставим в формулу:
• \[ P(X = 4) = C_5^4 \cdot (0,9)^4 \cdot (1 - 0,9)^{5 - 4} \]
• Вычислим биномиальный коэффициент:
• \[ C_5^4 = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4! \cdot 1!} = 5 \]
• Подставляем обратно:
• \[ P(X = 4) = 5 \cdot (0,9)^4 \cdot (0,1)^1 \]
• \[ P(X = 4) = 5 \cdot 0,6561 \cdot 0,1 \]
• \[ P(X = 4) = 5 \cdot 0,06561 \]
• \[ P(X = 4) = 0,32805 \]

Ответ: Вероятность четырех попаданий при пяти выстрелах равна 0,32805 (или 32,805%).