Найти приращение первообразной F(x) для функции на отрезке

Предмет: Математика

Раздел предмета: Интегральное исчисление

Задание: Найти приращение первообразной \( F(x) \) для функции \( f(x) = \sin \frac{x}{2} \) на отрезке \([0; \pi]\).

Решение:

1. Определение первообразной: Для того чтобы найти приращение первообразной функции, сначала нужно найти саму первообразную \( F(x) \). Первообразная \( F(x) \) является интегралом от функции \( f(x) \): \[ F(x) = \int f(x) \, dx = \int \sin \frac{x}{2} \, dx \]
2. Вычисление интеграла: Чтобы вычислить данный интеграл, используем замену переменной. Пусть \( u = \frac{x}{2} \), тогда \( du = \frac{1}{2} dx \) или \( dx = 2 du \). Перепишем интеграл: \[ \int \sin \frac{x}{2} \, dx = \int \sin u \cdot 2 \, du = 2 \int \sin u \, du \] Интеграл от \( \sin u \) равен \(-\cos u\): \[ 2 \int \sin u \, du = 2 \cdot (-\cos u) = -2 \cos u \] Вернемся к исходной переменной \( x \): \[ F(x) = -2 \cos \left( \frac{x}{2} \right) \]
3. Вычисление приращения первообразной: Приращение первообразной на \( [0; \pi] \) есть разность значений первообразной в конечной и начальной точках: \[ \Delta F = F(\pi) - F(0) \] Найдем \( F(\pi) \) и \( F(0) \): \[ F(\pi) = -2 \cos \left( \frac{\pi}{2} \right) = -2 \cos \left( \frac{\pi}{2} \right) = -2 \cdot 0 = 0 \] \[ F(0) = -2 \cos \left( 0 \right) = -2 \cos (0) = -2 \cdot 1 = -2 \] Тогда приращение: \[ \Delta F = F(\pi) - F(0) = 0 - (-2) = 0 + 2 = 2 \]

Ответ: \[ 2 \]