Найти приращение первообразной F(x) для функции

Этот вопрос относится к предмету "математика", а именно к разделу "интегралы и первообразные".

Задание: Нужно найти приращение первообразной \( F(x) \) для функции \( f(x) = \sin \frac{x}{2} \) на отрезке \([0; \pi]\).

Решение:

1. Найдем первообразную \( F(x) \) для функции \( f(x) \): \( f(x) = \sin \frac{x}{2} \). Чтобы найти первообразную \( F(x) \), интегрируем \( f(x) \): \[ \int \sin \frac{x}{2} \, dx = -2 \cos \frac{x}{2} + C, \] где \( C \) — константа интегрирования. Поэтому, \[ F(x) = -2 \cos \frac{x}{2} + C. \]
2. Найдем приращение первообразной \( F(x) \) на отрезке \([0; \pi]\): Приращение первообразной \( F(x) \) на отрезке \([0; \pi]\) это разность значений \( F(\pi) \) и \( F(0) \): \[ \Delta F(x) = F(\pi) - F(0). \]
3. Вычислим \( F(\pi) \) и \( F(0) \): Подставим \( x = \pi \): \[ F(\pi) = -2 \cos \frac{\pi}{2} + C = -2 \cdot 0 + C = C. \] Подставим \( x = 0 \): \[ F(0) = -2 \cos \frac{0}{2} + C = -2 \cdot 1 + C = -2 + C. \]
4. Найдём приращение \( \Delta F(x) \): \[ \Delta F(x) = F(\pi) - F(0) = C - (-2 + C) = C - C + 2 = 2. \]

Ответ: Приращение первообразной \( F(x) \) на отрезке \([0; \pi]\) равно \( 2 \).