Найти при каком значении параметра alpha интеграл равен площади S фигуры, ограниченной линиями. Найти эту площадь

Это задание относится к математике, конкретно к разделу интегрального исчисления.

Вопрос

При каком значении параметра \( \alpha \) интеграл \[ \int_{0}^{3} \frac{\alpha x + 1}{x + 1} \, dx \] равен площади \( S \) фигуры, ограниченной линиями \[ y = \frac{x - 2}{x + 1}, \quad y = -2, \quad x = 3? \] Найдите эту площадь \( S \).

Дано, что:

Ответ: \(\alpha = \), \( S = 9 - \ln{b}, \) где b =

Решение

Находим значение интеграла

Интеграл: \[ \int_{0}^{3} \frac{\alpha x + 1}{x + 1} \, dx \]

Сначала разложим дробь: \[ \frac{\alpha x + 1}{x + 1} = \alpha + \frac{1 - \alpha}{x + 1} \]

Тогда интеграл можно записать так: \[ \int_{0}^{3} \left( \alpha + \frac{1 - \alpha}{x + 1} \right) \, dx \]

Рассмотрим два отдельных интеграла: \[ \alpha \int_{0}^{3} 1 \, dx + (1 - \alpha) \int_{0}^{3} \frac{1}{x + 1} \, dx \]

Интегрируем каждый по отдельности: \[ \alpha \cdot [x]_{0}^{3} = \alpha \cdot (3 - 0) = 3\alpha \] и \[ (1 - \alpha) \cdot [\ln(x+1)]_{0}^{3} = (1 - \alpha) \cdot (\ln 4 - \ln 1) = (1 - \alpha) \cdot \ln 4 \]

Тогда суммарное значение интеграла: \[ 3\alpha + (1 - \alpha) \ln 4 \]

Вычисляем площадь фигуры \( S \)

1. Для нахождения площади \( S \) графически осмотрим фигуру, ограниченную \( y = \frac{x - 2}{x + 1}, y = -2, x = 3 \).
2. Вычислим пересечения пересечение \( y = -2 \) с \( y = \frac{x - 2}{x + 1} \): \[-2(x + 1) = x - 2 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \]

Найдем значение \( \alpha \)

Поскольку интеграл равен площади данной фигуры: \[ 3\alpha + (1 - \alpha) \ln 4 = 9 - \ln 4 \] итоговое сравнение \( 3\alpha + (1 - \alpha) \ln 4= 9 - \ln 4 \) эл = целые числа \( \Rightarrow \alpha = 2, S =9 - \ln4 \)

Таким образом, правильные ответы: \( \alpha = 2, \quad b = 4 \)