Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми

Предмет: Математика

Раздел: Интегральное исчисление, определённый интеграл

Нам нужно найти площадь фигуры, ограниченной кривыми \(y = e^x\) и \(y = e^{-x}\), а также вертикальными линиями \(x = 0\) и \(x = \ln 5\). Для нахождения площади нам нужно найти разность интегралов функций \(y = e^x\) и \(y = e^{-x}\) на отрезке от 0 до \(\ln 5\).

Обозначим эту площадь \(S\):

\[ S = \int_{0}^{\ln 5} (e^x - e^{-x}) \, dx \]

Теперь вычислим данный определённый интеграл:

1. Интеграл от \(e^x\): \[ \int e^x \, dx = e^x \]
2. Интеграл от \(e^{-x}\): \[ \int e^{-x} \, dx = -e^{-x} \]

Тогда:

\[ S = \left[ e^x - (-e^{-x}) \right]_{0}^{\ln 5} \]

\[ S = \left[ e^x + e^{-x} \right]_{0}^{\ln 5} \]

Теперь подставим пределы интегрирования:

1. Подставим верхний предел (\( \ln 5 \)): \[ e^{\ln 5} + e^{-\ln 5} \] \[ = 5 + e^{-\ln 5} \] Так как \( e^{-\ln 5} = \frac{1}{e^{\ln 5}} = \frac{1}{5} \), то: \[ 5 + \frac{1}{5} = 5 + 0.2 = 5.2 \]
2. Подставим нижний предел (0): \[ e^0 + e^0 = 1 + 1 = 2 \]

Теперь найдем разность:

\[ S = 5.2 - 2 \]

\[ S = 3.2 \]

Таким образом, площадь фигуры равна \( 3.2 \).