Найти площадь фигуры, ограниченной функциями на промежутке

Этот вопрос относится к предмету "математика", разделу "интегральное исчисление".

Дано две функции:

1. \( y = 2 - x \) (линейная функция),
2. \( y = x^3 \) (кубическая функция).

Нужно найти площадь фигуры, ограниченной этими функциями на промежутке от \( x = 0 \) до точки их пересечения \( x = 1 \).

1. Найдём точку пересечения этих функций. Это можно сделать, приравняв их:

\[ 2 - x = x^3 \] \[ x^3 + x - 2 = 0 \]

Корнем этого уравнения является \( x = 1 \). При подстановке проверяем:

Точка пересечения \( x = 1 \).

2. Теперь вычисляем площадь фигуры, используя определенный интеграл. Площадь ограничена кривыми \( y = 2 - x \) и \( y = x^3 \) между \( x = 0 \) и \( x = 1 \). Формула для площади области между двумя кривыми:

\[ A = \int_{a}^{b} [f(x) - g(x)] \, dx \]

Где:

• \( f(x) = 2 - x \)
• \( g(x) = x^3 \)
• \( a = 0 \)
• \( b = 1 \)

Интеграл:

\[ A = \int_{0}^{1} [(2 - x) - x^3] \, dx \] \[ = \int_{0}^{1} (2 - x - x^3) \, dx \]

Теперь интегрируем каждую часть:

\[ \int (2 - x - x^3) \, dx \] \[ = \int 2 \, dx - \int x \, dx - \int x^3 \, dx \] \[ = 2x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4} \Bigg|_{0}^{1} \]

Подставляем пределы интегрирования:

\[ \left( 2 \cdot 1 - \frac{1^2}{2} - \frac{1^4}{4} \right) - \left( 2 \cdot 0 - \frac{0^2}{2} - \frac{0^4}{4} \right) \] \[ = \left( 2 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) - \left( 0 - 0 - 0 \right) \] \[ = 2 - 0.5 - 0.25 \] \[ = 2 - 0.75 \] \[ = 1.25 \]

Ответ: Площадь фигуры равна \( 1.25 \).