Найти первообразную F(x) для функции

Это задание по математике, а именно по разделу анализа функций (интегралы).

Нам нужно найти первообразную \( F(x) \) для функции \( f(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} \). Чтобы найти первообразную, интегрируем функцию \( f(x) \):

\[ \int f(x) \, dx = \int \frac{2x}{x^2 + 1} \, dx \]

Сначала сделаем замену переменной:

Пусть \( u = x^2 + 1 \). Тогда \( du = 2x \, dx \), и \( dx = \frac{du}{2x} \).

Перепишем интеграл в новых переменных:

\[ \int \frac{2x}{x^2 + 1} \, dx = \int \frac{2x}{u} \cdot \frac{du}{2x} = \int \frac{1}{u} \, du \]

Этот интеграл равен:

\[ \int \frac{1}{u} \, du = \ln|u| + C \]

Замещая обратно \( u = x^2 + 1 \):

\[ \ln|x^2 + 1| + C \]

Так как \( x^2 + 1 \) всегда положительно, можем опустить модуль:

\[ \ln(x^2 + 1) + C \]

Итак, первообразная функции \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) есть \(\ln(x^2 + 1)\), с точностью до константы \( C \).

Следовательно, правильный ответ:

\[ F(x) = \ln(x^2 + 1) \]