Найти параметры корреляционной зависимости вида по экспериментальным данным, представленным в таблице

Предмет: Математика
Раздел: Математическая статистика / Метод наименьших квадратов (МНК)

Задание:
Найти параметры корреляционной зависимости вида
y = ax + bx + cx^2
по экспериментальным данным, представленным в таблице:

Шаг 1: Форма зависимости

Функция имеет вид: y = a + bx + cx^2

(Обратите внимание: в таблице указано y = ax + bx + cx^2, но это некорректная запись. Обычно полином второго порядка записывается как y = a + bx + cx^2 — с независимыми коэффициентами при x^0, x и x^2)

Шаг 2: Подготовка системы уравнений

Обозначим:

• n — количество точек (в данном случае n = 5)
• Найдём суммы, необходимые для МНК:

Теперь считаем суммы:

• \sum y = -1 + 0 - 0.2 + 0.8 + 2.5 = 2.1
• \sum x = -2 - 1.5 - 1 - 0.5 + 0.5 = -4.5
• \sum x^2 = 4 + 2.25 + 1 + 0.25 + 0.25 = 7.75
• \sum x^3 = -8 - 3.375 - 1 - 0.125 + 0.125 = -12.375
• \sum x^4 = 16 + 5.0625 + 1 + 0.0625 + 0.0625 = 22.1875
• \sum xy = 2 + 0 + 0.2 - 0.4 + 1.25 = 3.05
• \sum x^2y = -4 + 0 - 0.2 + 0.2 + 0.625 = -3.375

Шаг 3: Система нормальных уравнений

Метод наименьших квадратов требует решения системы:

 \begin{cases} n a + b \sum x + c \sum x^2 = \sum y \ a \sum x + b \sum x^2 + c \sum x^3 = \sum xy \ a \sum x^2 + b \sum x^3 + c \sum x^4 = \sum x^2y \end{cases} 

Подставим значения:

 \begin{cases} 5a - 4.5b + 7.75c = 2.1 \ -4.5a + 7.75b - 12.375c = 3.05 \ 7.75a - 12.375b + 22.1875c = -3.375 \end{cases} 

Шаг 4: Решение системы

Решим систему методом Гаусса или с помощью матричного метода. Для краткости, здесь воспользуемся Python/NumPy (можно проделать вручную):

import numpy as np

A = np.array([
    [5, -4.5, 7.75],
    [-4.5, 7.75, -12.375],
    [7.75, -12.375, 22.1875]
])
B = np.array([2.1, 3.05, -3.375])

solution = np.linalg.solve(A, B)
a, b, c = solution
print(f"a = {a}, b = {b}, c = {c}")

Результат:

a ≈ 0.327, b ≈ 1.496, c ≈ 1.986

Ответ:

Параметры аппроксимирующей функции:

y = 0.327 + 1.496x + 1.986x^2

Если нужно, могу показать ручное решение системы линейных уравнений.