Найти минимальное значение n, при котором формула трапеций обеспечивает вычисление определенного интеграла

Предмет: Математика

Раздел: Численные методы

Задача: Найти минимальное значение \( n \), при котором формула трапеций обеспечивает вычисление определенного интеграла \(\int_{1}^{5} \ln{x} \, dx\) с точностью до \(0.001\).

Решение:

Формула трапеций для приближенного вычисления определенного интеграла \(\int_{a}^{b} f(x) \, dx\) задается как:

\[ T_n = \frac{b-a}{2n} \left( f(a) + 2 \sum_{k=1}^{n-1} f(a+k\frac{b-a}{n}) + f(b) \right) \]

Ошибка \( E \) формулы трапеций приблизительно равна:

\[ E \approx -\frac{(b-a)^3}{12n^2} f''(\xi) \] для некоторого \( \xi \in (a, b) \).

Для функции \( f(x) = \ln{x} \):

\[ f'(x) = \frac{1}{x} \]

\[ f''(x) = -\frac{1}{x^2} \]

Следовательно, наибольшее (по модулю) значение второй производной \( f''(x) \) на интервале \([1, 5]\) достигается в точке \( x = 1 \):

\[ |f''(x)| \leq \left|-\frac{1}{1^2}\right| = 1 \]

Тогда ошибка вычисления интеграла по формуле трапеций будет:

\[ E \leq \frac{(5-1)^3}{12n^2} \]

\[ E \leq \frac{64}{12n^2} = \frac{16}{3n^2} \]

Требуемая точность:

\[ E \leq 0.001 \]

Решаем неравенство:

\[ \frac{16}{3n^2} \leq 0.001 \]

\[ 16 \leq 0.001 \cdot 3n^2 \]

\[ 16 \leq 0.003n^2 \]

\[ 16 \div 0.003 \leq n^2 \]

\[ 5333.33 \leq n^2 \]

\[ n \geq \sqrt{5333.33} \]

\[ n \geq 73.03 \]

Минимальное целое значение \( n \), удовлетворяющее этому условию:

\( n = 74 \)

Ответ: \( n = 74 \)