Найти максимальное значение интегральной суммы функции y = x^2 на отрезке [0; 1], если число отрезков разбиения равно 4

Определение предмета и раздела предмета

Этот пример относится к предмету математика, разделу интегралы и методы численного интегрирования.

Задача

Найти максимальное значение интегральной суммы функции $\text{(}y=x^2\text{)}$ на отрезке $\text{(}[0;1]\text{)}$, если число отрезков разбиения равно 4.

Решение

Мы будем использовать метод верхних сумм Римана, чтобы найти максимальное значение интегральной суммы.

1. Определение длины отрезка разбиения
   Разобьем отрезок $\text{(}[0;1]\text{)}$ на 4 равные части: $\text{[}\mathrm{\Delta }x=\frac{1-0}{4}=0.25\text{]}$
2. Определение верхних сумм Римана
   Для вычисления верхней суммы Римана нам нужно найти максимальное значение функции $\text{(}y=x^2\text{)}$ на каждом отрезке: $\text{[}[0,0.25],[0.25,0.5],[0.5,0.75],[0.75,1]\text{]}$
   На каждом из этих отрезков максимальное значение функции $\text{(}y=x^2\text{)}$ будет в правой точке отрезка. Точки: $\text{[}0.25,0.5,0.75,1\text{]}$
3. Вычисление значений функции в этих точках
   $\text{[}f(0.25)=(0.25{)}^2=0.0625\text{]}$
   $\text{[}f(0.5)=(0.5{)}^2=0.25\text{]}$
   $\text{[}f(0.75)=(0.75{)}^2=0.5625\text{]}$
   $\text{[}f(1)=(1{)}^2=1\text{]}$
4. Вычисление верхней суммы Римана
   $\text{[}S=\sum _{i=1}^{4}f(x_i)\mathrm{\Delta }x=(0.0625+0.25+0.5625+1)\cdot 0.25\text{]}$
   $\text{[}S=1.875\cdot 0.25=0.46875\text{]}$
5. Поиск чисел $\text{(}\alpha \text{)}$ и $\text{(}b\text{)}$
   Ответ должен быть представлен в несократимой дроби $\text{(}\frac{\alpha }{b}\text{)}$: $\text{[}0.46875=\frac{46875}{100000}=\frac{15}{32}\text{]}$
   После сокращения $\text{(}\alpha =15\text{)}$ и $\text{(}b=32\text{)}$.

Ответ

$\text{[}\alpha =15,b=32\text{]}$
$\text{[}\frac{\alpha }{b}=\frac{15}{32}\text{]}$
Ответ: $\text{(}\frac{15}{32}\text{)}$ где $\text{(}\alpha =15\text{)}$ и $\text{(}b=32\text{)}$.