Найти максимальное значение интегральной суммы функции y = x^2 на отрезке [0; 1], если число отрезков разбиения равно 4

Определение предмета и раздела предмета

Этот пример относится к предмету математика, разделу интегралы и методы численного интегрирования.

Задача

Найти максимальное значение интегральной суммы функции \( y = x^2 \) на отрезке \([0; 1]\), если число отрезков разбиения равно 4.

Решение

Мы будем использовать метод верхних сумм Римана, чтобы найти максимальное значение интегральной суммы.

1. Определение длины отрезка разбиения
   Разобьем отрезок \([0; 1]\) на 4 равные части: \[ \Delta x = \frac{1 - 0}{4} = 0.25 \]
2. Определение верхних сумм Римана
   Для вычисления верхней суммы Римана нам нужно найти максимальное значение функции \( y = x^2 \) на каждом отрезке: \[ [0, 0.25], [0.25, 0.5], [0.5, 0.75], [0.75, 1] \]
   На каждом из этих отрезков максимальное значение функции \( y = x^2 \) будет в правой точке отрезка. Точки: \[ 0.25, 0.5, 0.75, 1 \]
3. Вычисление значений функции в этих точках
   \[ f(0.25) = (0.25)^2 = 0.0625 \]
   \[ f(0.5) = (0.5)^2 = 0.25 \]
   \[ f(0.75) = (0.75)^2 = 0.5625 \]
   \[ f(1) = (1)^2 = 1 \]
4. Вычисление верхней суммы Римана
   \[ S = \sum_{i=1}^{4} f(x_i) \Delta x = (0.0625 + 0.25 + 0.5625 + 1) \cdot 0.25 \]
   \[ S = 1.875 \cdot 0.25 = 0.46875 \]
5. Поиск чисел \(\alpha\) и \(b\)
   Ответ должен быть представлен в несократимой дроби \(\frac{\alpha}{b}\): \[ 0.46875 = \frac{46875}{100000} = \frac{15}{32} \]
   После сокращения \(\alpha = 15\) и \(b = 32\).

Ответ

\[ \alpha = 15, \quad b = 32 \]
\[ \frac{\alpha}{b} = \frac{15}{32} \]
Ответ: \(\frac{15}{32}\) где \(\alpha = 15\) и \(b = 32\).