Найти максимальное значение интегральной суммы функции

Это задание относится к предмету "Математика", разделу "Интегральное исчисление."

Чтобы найти максимальное значение интегральной суммы функции \( y = x^2 \) на отрезке \([0; 1]\) при числе отрезков разбиения, равном 4, воспользуемся методом верхних сумм Дарбу.

Шаги решения задачи:

1. Разбиение отрезка [0; 1] на 4 отрезка: Пусть \(\Delta x\) равен длине одного отрезка разбиения: \[ \Delta x = \frac{1-0}{4} = \frac{1}{4} \] Тогда точки разбиения будут: \(0, \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}, 1\).
2. Определение максимальных значений функции на каждом отрезке: На каждом отрезке будем рассматривать правый конец, так как это дает максимальное значение для \(y = x^2\): \[ \begin{align*} &\text{на [0, 1/4]: } f\left(\frac{1}{4}\right) = \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \frac{1}{16}, \\ &\text{на [1/4, 1/2]: } f\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}, \\ &\text{на [1/2, 3/4]: } f\left(\frac{3}{4}\right) = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}, \\ &\text{на [3/4, 1]: } f(1) = 1^2 = 1. \end{align*} \]
3. Вычисление суммы верхних прямоугольников: Верхняя сумма Дарбу \(U(f, P)\) на данном разбиении: \[ U(f, P) = \sum_{i=1}^{4} M_i \Delta x \] где \(M_i\) — это максимум функции на i-м отрезке (\([x_{i-1}, x_i]\)). Подставим: \[ U(f, P) = \left(\frac{1}{16}\right) \cdot \frac{1}{4} + \left(\frac{1}{4}\right) \cdot \frac{1}{4} + \left(\frac{9}{16}\right) \cdot \frac{1}{4} + \left(1\right) \cdot \frac{1}{4} \]
4. Выполним вычисления: \[ U(f, P) = \frac{1}{16} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} + \frac{9}{16} \cdot \frac{1}{4} + 1 \cdot \frac{1}{4} \] \[ = \frac{1}{64} + \frac{1}{16} + \frac{9}{64} + \frac{1}{4} \] \[ = \frac{1}{64} + \frac{4}{64} + \frac{9}{64} + \frac{16/64} \] \[ = \frac{1 + 4 + 9 + 16}{64} \] \[ = \frac{30/64} \] \[ = \frac{15}{32} \] Таким образом, максимальное значение интегральной суммы функции \(y = x^2\) на отрезке \([0; 1]\) при разбиении на 4 отрезка равно \(\frac{15}{32}\).

Ответ: