Найти коэффициент корреляции между двумя переменными

Это задание по математике, конкретно в разделе статистики. Нужно найти коэффициент корреляции между двумя переменными \( X \) и \( Y \).

1. Вычислите математическое ожидание (среднее значение) для \( X \) и \( Y \): Математическое ожидание \( E(X) \) определяется как сумма произведений значений переменной \( X \) и соответствующих вероятностей. Для \( X \): \[ E(X) = 0 \times (0.2 + 0.3) + 2 \times (0.3 + 0.2) = 0 \times 0.5 + 2 \times 0.5 = 1 \] Для \( Y \): \[ E(Y) = 1 \times (0.2 + 0.3) + 5 \times (0.3 + 0.2) = 1 \times 0.5 + 5 \times 0.5 = 3 \]
2. Вычислите математическое ожидание для произведения \( XY \): \[ E(XY) = 0 \times 1 \times 0.2 + 0 \times 5 \times 0.3 + 2 \times 1 \times 0.3 + 2 \times 5 \times 0.2 = 0 + 0 + 0.6 + 2 = 2.6 \]
3. Найдите дисперсии \( \sigma_X^2 \) и \( \sigma_Y^2 \): Дисперсия \( \sigma_X^2 \) определяется как \[ E(X^2) - (E(X))^2 \]. Для \( X \): \[ E(X^2) = 0^2 \times (0.2 + 0.3) + 2^2 \times (0.3 + 0.2) = 0 + 4 \times 0.5 = 2 \] \[ \sigma_X^2 = E(X^2) - (E(X))^2 = 2 - 1^2 = 2 - 1 = 1 \] Для \( Y \): \[ E(Y^2) = 1^2 \times (0.2 + 0.3) + 5^2 \times (0.3 + 0.2) = 0.5 + 25 \times 0.5 = 0.5 + 12.5 = 13 \] \[ \sigma_Y^2 = E(Y^2) - (E(Y))^2 = 13 - 3^2 = 13 - 9 = 4 \]
4. Вы найдете стандартные отклонения \( \sigma_X \) и \( \sigma_Y \): \[ \sigma_X = \sqrt{\sigma_X^2} = \sqrt{1} = 1 \] \[ \sigma_Y = \sqrt{\sigma_Y^2} = \sqrt{4} = 2 \]
5. Вычислите ковариацию \( Cov(X,Y) \): \[ Cov(X, Y) = E(XY) - E(X)E(Y) = 2.6 - 1 \times 3 = 2.6 - 3 = -0.4 \]
6. Вычислите коэффициент корреляции \( \rho_{X,Y} \): \[ \rho_{X,Y} = \frac{Cov(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y} = \frac{-0.4}{1 \times 2} = \frac{-0.4}{2} = -0.2 \] Таким образом, корреляция \( \rho(X, Y) \) равна -0.2.