Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Найти функцию распределения F(x) на основе заданной функции плотности вероятности
Условие:
Задание на скриншоде
Решение:
Данный пример относится к разделу теории вероятностей и математической статистики.
Здесь требуется найти функцию распределения \( F(x) \) на основе заданной функции плотности вероятности \( f(x) \). Функция распределения \( F(x) \) определяется как интеграл от функции плотности \( f(x) \):
\[ F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \, dt. \]Разделим решение на несколько частей в зависимости от значений \( x \).
Когда \( x < 1 \): Так как \( f(x) = 0 \) для \( x < 1 \), функция распределения также будет \( F(x) = 0 \):
\[ F(x) = \int_{-\infty}^{x} 0 \, dt = 0. \]Когда \( 1 \leq x < 2 \): Функция плотности \( f(x) \) на этом интервале равна \( x - \frac{1}{2} \). Тогда функция распределения будет равна:
\[ F(x) = \int_{1}^{x} \left( t - \frac{1}{2} \right) \, dt. \]Вычисляем интеграл:
\[ F(x) = \int_{1}^{x} t \, dt - \int_{1}^{x} \frac{1}{2} \, dt. \]Посчитаем каждую часть отдельно:
\[ \int_{1}^{x} t \, dt = \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{1}^{x} = \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2}. \] \[ \int_{1}^{x} \frac{1}{2} \, dt = \frac{1}{2} \cdot (x - 1). \]Тогда:
\[ F(x) = \frac{x^2}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}(x - 1). \]Упростим:
\[ F(x) = \frac{x^2}{2} - \frac{x}{2}. \] \[ F(x) = \frac{x(x - 1)}{2}. \]Когда \( x \geq 2 \): Функция плотности равна нулю и больше не добавляет вклада. Функция распределения равна:
\[ F(x) = \int_{1}^{2} \left( t - \frac{1}{2} \right) \, dt + \int_{2}^{x} 0 \, dt. \]Первую часть мы уже вычислили:
\[ \int_{1}^{2} \left( t - \frac{1}{2} \right) \, dt = \frac{2 \cdot 1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 1 - \left( \frac{1 \cdot 1}{2} - \frac{1/2} \cdot 1 \right) = \frac{1}{2}. \]Поэтому:
\[ F(x) = \frac{1}{2}, \, x \geq 2. \]Итак, окончательная форма функции распределения \( F(x) \) будет выглядеть следующим образом:
\[ F(x) = \begin{cases} 0, & x < 1, \\ \frac{x(x-1)}{2}, & 1 \leq x < 2, \\ \frac{1}{2}, & x \geq 2. \end{cases} \]
Не нашли нужного вам решения? Оставьте заявку и наши авторы быстро и качественно помогут вам с решением.
Оставить заявку