Найти функцию f(x), для которой первобразной является функция

Это задание относится к предмету «математика», раздел «дифференциальное исчисление» (дифференцирование).

Нас просят найти функцию \( f(x) \), первообразной которой является функция \( F(x) = (x^2 + 1)e^x + 5 \). Чтобы определить \( f(x) \), нам нужно найти производную \( F(x) \).

Вспомним, что производная суммы функций равна сумме производных этих функций: \[ F(x) = (x^2 + 1)e^x + 5 \]

Первая часть функции — это произведение двух функций \( (x^2 + 1) \) и \( e^x \). Для взятия производной произведения воспользуемся правилом произведения: \((uv)' = u'v + uv'\).

Пусть: \[ u = (x^2 + 1) \] \[ v = e^x \]

Тогда: \[ u' = 2x \] \[ v' = e^x \]

Применим правило произведения: \[ [(x^2 + 1)e^x]' = (x^2 + 1)' \cdot e^x + (x^2 + 1) \cdot (e^x)' = 2x \cdot e^x + (x^2 + 1) \cdot e^x \]

Можно вынести общий множитель \( e^x \): \[ = e^x(2x + x^2 + 1) \]

Производная от константы(5) равна нулю, поэтому её можно исключить из расчета. Таким образом производная от \(5\) = \(0\).

Итак, производная будет: \[ F'(x) = e^x(x^2 + 2x + 1) = (x+1)^2e^x \]

Теперь сравним это с предложенными вариантами: \[ f(x) = 2xe^x + 5 \quad \text{не подходит} \] \[ f(x) = (x^2 - 2x + 3)e^x + 5 \quad \text{не подходит} \] \[ f(x) = 2(x^2 + 5x)e^x + 4 \quad \text{не подходит} \] \[ f(x) = (x+1)^2e^x + 5 \quad \text{подходит} \]

Правильный ответ: \( (x+1)^2e^x + 5 \).