Найти двумерную функцию распределения случайного процесса X(t)=е^(Ut) t 0 и 1

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика

Раздел: Случайные процессы

Мы имеем задание найти двумерную функцию распределения \( F_{X(t_1),X(t_2)}(x_1,x_2) \) (совместную функцию распределения) для случайного процесса \( X(t) = e^{Ut} \), где \( U \) — случайная величина, принимающая значения -1 и 1 с вероятностью 1/2 каждая. Даны времена \( t_1 = 0 \) и \( t_2 = 1 \).

Шаг 1: Поймем, что представляет собой случайный процесс \( X(t) \)

Случайный процесс \( X(t) \) задан как \( e^{Ut} \), где \( U \) — случайная величина, принимающая значения -1 или 1:

• Если \( U = 1 \), то \( X(t) = e^t \).
• Если \( U = -1 \), то \( X(t) = e^{-t} \).

Итак, процесс в любой момент времени может принимать одно из двух значений: либо \( e^t \), либо \( e^{-t} \), в зависимости от того, какова реализованная величина \( U \).

Шаг 2: Определение двумерной функции распределения

Совместная функция распределения определяется так: \[ F_{X(t_1),X(t_2)}(x_1,x_2) = P(X(t_1) \leq x_1, X(t_2) \leq x_2) \] Мы хотим найти эту функцию на момент времени \( t_1 = 0 \) и \( t_2 = 1 \).

Шаг 3: Найдем значения случайных величин в моменты времени \( t_1 = 0 \) и \( t_2 = 1 \)

1. При \( t_1 = 0 \): \( X(0) = e^{U \cdot 0} = e^0 = 1 \) независимо от того, чему равен \( U \). Значит, \( X(0) = 1 \) всегда.
2. При \( t_2 = 1 \): \[ X(1) = e^{U \cdot 1} = e^U \]
   • Если \( U = 1 \), то \( X(1) = e^1 = e \).
   • Если \( U = -1 \), то \( X(1) = e^{-1} = \frac{1}{e} \).

Шаг 4: Построение совместного распределения

Теперь уже можно строить совокупное распределение \( F_{X(0), X(1)}(x_1, x_2) \). Для этого рассмотрим различные случаи:

1. Случай \( x_1 < 1 \): Вероятность того, что \( X(0) \leq x_1 \), равна 0, так как \( X(0) = 1 \) всегда. Следовательно, \( F_{X(0), X(1)}(x_1, x_2) = 0 \) при \( x_1 < 1 \).
2. Случай \( x_1 \geq 1 \): Здесь вероятность будет определяться только значением \( x_2 \), так как \( X(0) \) всегда равно 1. Тогда вероятность вычисляется следующим образом:
   • Если \( x_2 < \frac{1}{e} \), то \( P(X(1) \leq x_2) = 0 \), так как минимальное возможное значение \( X(1) = \frac{1}{e} \) при \( U = -1 \).
   • Если \( \frac{1}{e} \leq x_2 < e \), то \( P(X(1) \leq x_2) = \frac{1}{2} \), так как \( X(1) = \frac{1}{e} \) при \( U = -1 \)}.
   • Если \( x_2 \geq e \), то \( P(X(1) \leq x_2) = 1 \), так как наибольшее значение \( X(1) = e \) при \( U = 1 \).

Шаг 5: Ответ

Таким образом, совместная функция распределения \( F_{X(0), X(1)}(x_1, x_2) \) имеет вид: \[ F_{X(0), X(1)}(x_1, x_2) = \begin{cases} 0, & x_1 < 1 \\ 0, & x_1 \geq 1 \text{ и } x_2 < \frac{1}{e} \\ \frac{1}{2}, & x_1 \geq 1 \text{ и } \frac{1}{e} \leq x_2 < e \\ 1, & x_1 \geq 1 \text{ и } x_2 \geq e \end{cases} \]