Найти двумерную функцию распределения случайного процесса X(t)=е^(Ut) t 0 и 1

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика

Раздел: Случайные процессы

Мы имеем задание найти двумерную функцию распределения $\text{(}{F}_{X(t_1),X(t_2)}(x_1,x_2)\text{)}$ (совместную функцию распределения) для случайного процесса $\text{(}X(t)=e^{Ut}\text{)}$, где $\text{(}U\text{)}$ — случайная величина, принимающая значения -1 и 1 с вероятностью 1/2 каждая. Даны времена $\text{(}{t}_1=0\text{)}$ и $\text{(}{t}_2=1\text{)}$.

Шаг 1: Поймем, что представляет собой случайный процесс $\text{(}X(t)\text{)}$

Случайный процесс $\text{(}X(t)\text{)}$ задан как $\text{(}{e}^{Ut}\text{)}$, где $\text{(}U\text{)}$ — случайная величина, принимающая значения -1 или 1:

• Если $\text{(}U=1\text{)}$, то $\text{(}X(t)=e^t\text{)}$.
• Если $\text{(}U=-1\text{)}$, то $\text{(}X(t)=e^{-t}\text{)}$.

Итак, процесс в любой момент времени может принимать одно из двух значений: либо $\text{(}{e}^t\text{)}$, либо $\text{(}{e}^{-t}\text{)}$, в зависимости от того, какова реализованная величина $\text{(}U\text{)}$.

Шаг 2: Определение двумерной функции распределения

Совместная функция распределения определяется так: $\text{[}{F}_{X(t_1),X(t_2)}(x_1,x_2)=P(X(t_1)\le x_1,X(t_2)\le x_2)\text{]}$ Мы хотим найти эту функцию на момент времени $\text{(}{t}_1=0\text{)}$ и $\text{(}{t}_2=1\text{)}$.

Шаг 3: Найдем значения случайных величин в моменты времени $\text{(}{t}_1=0\text{)}$ и $\text{(}{t}_2=1\text{)}$

1. При $\text{(}{t}_1=0\text{)}$: $\text{(}X(0)=e^{U\cdot 0}=e^0=1\text{)}$ независимо от того, чему равен $\text{(}U\text{)}$. Значит, $\text{(}X(0)=1\text{)}$ всегда.
2. При $\text{(}{t}_2=1\text{)}$: $\text{[}X(1)=e^{U\cdot 1}=e^U\text{]}$
   • Если $\text{(}U=1\text{)}$, то $\text{(}X(1)=e^1=e\text{)}$.
   • Если $\text{(}U=-1\text{)}$, то $\text{(}X(1)=e^{-1}=\frac{1}{e}\text{)}$.

Шаг 4: Построение совместного распределения

Теперь уже можно строить совокупное распределение $\text{(}{F}_{X(0),X(1)}(x_1,x_2)\text{)}$. Для этого рассмотрим различные случаи:

1. Случай $\text{(}{x}_1<1\text{)}$: Вероятность того, что $\text{(}X(0)\le x_1\text{)}$, равна 0, так как $\text{(}X(0)=1\text{)}$ всегда. Следовательно, $\text{(}{F}_{X(0),X(1)}(x_1,x_2)=0\text{)}$ при $\text{(}{x}_1<1\text{)}$.
2. Случай $\text{(}{x}_1\ge 1\text{)}$: Здесь вероятность будет определяться только значением $\text{(}{x}_2\text{)}$, так как $\text{(}X(0)\text{)}$ всегда равно 1. Тогда вероятность вычисляется следующим образом:
   • Если $\text{(}{x}_2<\frac{1}{e}\text{)}$, то $\text{(}P(X(1)\le x_2)=0\text{)}$, так как минимальное возможное значение $\text{(}X(1)=\frac{1}{e}\text{)}$ при $\text{(}U=-1\text{)}$.
   • Если $\text{(}\frac{1}{e}\le x_2<e\text{)}$, то $\text{(}P(X(1)\le x_2)=\frac{1}{2}\text{)}$, так как $\text{(}X(1)=\frac{1}{e}\text{)}$ при $\text{Extra close brace or missing open brace}$.
   • Если $\text{(}{x}_2\ge e\text{)}$, то $\text{(}P(X(1)\le x_2)=1\text{)}$, так как наибольшее значение $\text{(}X(1)=e\text{)}$ при $\text{(}U=1\text{)}$.

Шаг 5: Ответ

Таким образом, совместная функция распределения $\text{(}{F}_{X(0),X(1)}(x_1,x_2)\text{)}$ имеет вид: $\text{[}{F}_{X(0),X(1)}(x_1,x_2)=\{\begin{array}{ll}0,& x_1<1\\ 0,& x_1\ge 1\text{ и }{x}_2<\frac{1}{e}\\ \frac{1}{2},& x_1\ge 1\text{ и }\frac{1}{e}\le x_2<e\\ 1,& x_1\ge 1\text{ и }{x}_2\ge e\end{array}\text{]}$