Найти длину дуги линии и сделать чертеж

Предмет: Математика

Раздел: Аналитическая геометрия

Задача: Найти длину дуги кривой \( y = (x + 3)\sqrt{x + 3} \) от точки \( A(-3; 0) \) до точки \( B(3; 6\sqrt{6}) \).

Шаг 1: Вычисление производной

Для нахождения длины дуги нам понадобиться производная функции \( y \).

\[ y = (x+3)\sqrt{x+3} \]

Представим данную функцию в виде:

\[ y = (x + 3) (x + 3)^{1/2} = (x + 3)^{3/2} \]

Теперь найдем производную:

\[ y' = \frac{d}{dx} (x + 3)^{3/2} \]

Используем правило цепочки:

\[ y' = \frac{3}{2} (x + 3)^{1/2} \]

Шаг 2: Формула длины дуги

Формула длины дуги заданной функции \( y(x) \) от точки \( x = a \) до точки \( x = b \):

\[ L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2} \, dx \]

В данном случае \( a = -3 \) и \( b = 3 \). Подставим найденную производную:

\[\left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = \left( \frac{3}{2} (x + 3)^{1/2} \right)^2 = \frac{9}{4} (x + 3) \]

Теперь подставим это в формулу длины дуги:

\[ L = \int_{-3}^{3} \sqrt{\frac{31 + 9x}{4}} \, dx \]

Шаг 3: Решение интеграла

Воспользуемся заменой переменной \( u = 31 + 9x \), \( du = 9dx \) для решения интеграла:

\[ \frac{1}{2} \int_{-3}^{3} \sqrt{31 + 9x} \, dx = \frac{1}{2} \int_{u(-3)}^{u(3)} \sqrt{u} \frac{du}{9} \]

Примерно:

\[ (58)^{1.5} \approx 442 \]

\[ \frac{1}{27} [442 - 8] = \frac{1}{27} \cdot 434 \approx 16.07 \]

Ответ:

Длина дуги линии приблизительно равна \( 16.07 \) единиц.

Чертеж:

Построим график функции \( y = (x+3)\sqrt{x+3} \) и отметим на нем точки \( A(-3,0) \) и \( B(3, 6\sqrt{6}) \).

График представить здесь не могу, так что воспользуйтесь любым графическим редактором или онлайн-графпостроителем.