Найти дисперсию случайной величины

Определение статуса задания:

• Предмет: Математика (Теория вероятностей и математическая статистика)
• Раздел: Дисперсия и независимые случайные величины

Решение задания:

Дисперсия случайной величины \( Z = 3X + 3Y \).

1. Формула для дисперсии линейной комбинации независимых случайных величин:

   Если случайные величины \( X \) и \( Y \) независимы, то для констант \( a \) и \( b \) имеем:

   \[\text{Var}(aX + bY) = a^2 \text{Var}(X) + b^2 \text{Var}(Y)\]

2. Применение формулы к нашей задаче:

   Тут \( a = 3 \) и \( b = 3 \). Поэтому \( Z = 3X + 3Y \).

3. Вычисление дисперсии:

   Используя указанную выше формулу:

   \[\text{Var}(Z) = \text{Var}(3X + 3Y) = 3^2 \text{Var}(X) + 3^2 \text{Var}(Y)\]

   Раскроем скобки и упростим выражение:

   \[\text{Var}(Z) = 9 \text{Var}(X) + 9 \text{Var}(Y)\]

4. Заключение:

   Таким образом, дисперсия случайной величины \( Z \) равна \( 9 \text{Var}(X) + 9 \text{Var}(Y) \).

   Итог:

   \[\text{Var}(Z) = 9 \text{Var}(X) + 9 \text{Var}(Y)\]