Найти целые значения alpha и b, удовлетворяющие представленному выражению

Предмет: Математика. Раздел: Математический анализ, интегралы.

Для того чтобы найти целые значения \(\alpha\) и \(b\), удовлетворяющие представленному выражению, решим заданный определенный интеграл: \[ \int_{1}^{e-1} \ln (x + 1) \, dx = \alpha - 2 \ln b. \] Для вычисления данного интеграла воспользуемся методом подстановки и формулой для интегрирования по частям.

1. Первым шагом сделаем подстановку \(u = x + 1\), тогда \(du = dx\) и пределы интегрирования изменятся на \(x = 1 \rightarrow u = 2\) и \(x = e-1 \rightarrow u = e\). Запишем интеграл в новых переменных: \[ \int_{2}^{e} \ln u \, du. \]
2. Интеграл от \(\ln u\) решается методом интегрирования по частям, где мы выбираем \(v = \ln u\) и \(du = du\), тогда производные будут \(dv = \frac{1}{u} du\) и \(u = u\). Применим формулу интегрирования по частям: \[ \int v \, du = vu - \int u \, dv. \] Здесь: \[ \int \ln u \, du = u \ln u - \int 1 \, du = u \ln u - u. \] Теперь поставим пределы интегрирования: \[ \left[ u \ln u - u \right]_{2}^{e} = \left( e \ln e - e \right) - \left( 2 \ln 2 - 2 \right). \] Поскольку \(\ln e = 1\): \[ e - e - (2 \ln 2 - 2) = - (2 \ln 2 - 2) = 2 - 2 \ln 2. \] Таким образом, уравнение принимает вид: \[ 2 - 2 \ln 2 = \alpha - 2 \ln b. \] Приравняем коэффициенты: \[ \alpha = 2 \quad \text{и} \quad \ln 2 = \ln b, \] что даёт: \[ b = 2. \] Следовательно, искомые значения: \[ \alpha = 2, \; b = 2. \]