Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение дискретной случайной величины

Предмет: Теория вероятностей и математическая статистика.

Раздел: Дискретные случайные величины.

Задано распределение дискретной случайной величины \(X\):

Нужно найти:

1. Математическое ожидание \(E(X)\),
2. Дисперсию \(D(X)\),
3. Среднее квадратичное отклонение \(\sigma(X)\).

1. Математическое ожидание \(E(X)\):

Математическое ожидание \(E(X)\) для дискретной случайной величины вычисляется по формуле:

\[ E(X) = \sum_{i=1}^{n} X_i \cdot P(X_i) \]

Подставляем значения:

\[ E(X) = 2 \cdot 0.2 + 4 \cdot 0.25 + 5 \cdot 0.3 + 6 \cdot 0.1 + 8 \cdot 0.05 \]

Считаем:

\[ E(X) = 0.4 + 1.0 + 1.5 + 0.6 + 0.4 = 3.9 \]

Математическое ожидание:

\[ E(X) = 3.9 \]

2. Дисперсия \(D(X)\):

Дисперсия \(D(X)\) вычисляется по формуле:

\[ D(X) = E(X^2) - \left(E(X)\right)^2 \]

Где \(E(X^2)\) — это математическое ожидание квадрата случайной величины, которое вычисляется по формуле:

\[ E(X^2) = \sum_{i=1}^{n} X_i^2 \cdot P(X_i) \]

Считаем \(E(X^2)\):

\[ E(X^2) = 2^2 \cdot 0.2 + 4^2 \cdot 0.25 + 5^2 \cdot 0.3 + 6^2 \cdot 0.1 + 8^2 \cdot 0.05 \]

\[ E(X^2) = 0.8 + 4.0 + 7.5 + 3.6 + 3.2 = 19.1 \]

Теперь находим дисперсию:

\[ D(X) = E(X^2) - \left(E(X)\right)^2 = 19.1 - (3.9)^2 = 19.1 - 15.21 = 3.89 \]

Дисперсия:

\[ D(X) = 3.89 \]

3. Среднее квадратичное отклонение \(\sigma(X)\):

Среднее квадратичное отклонение \(\sigma(X)\) — это квадратный корень из дисперсии:

\[ \sigma(X) = \sqrt{D(X)} = \sqrt{3.89} \approx 1.972 \]

Ответ:

1. Математическое ожидание: \(E(X) = 3.9\).
2. Дисперсия: \(D(X) = 3.89\).
3. Среднее квадратичное отклонение: \(\sigma(X) \approx 1.972\).