Условие:
Автобусу в котором 15 пассажиров, предстоит сделать 20 остановок. Предполагая, что возможные способы распределения пассажиров по остановкам равна возможны. Найдите вероятность того, что никакие 2 пассажира не выйдут на одной остановке.
Решение:
Эта задача относится к предмету "Теория вероятностей", который является частью более широкой области математики.
Задача: В автобусе с 15 пассажирами предполагается 20 остановок. Требуется найти вероятность того, что никакие 2 пассажира не выйдут на одной и той же остановке.
Решение:
- Общее количество вариантов распределения пассажиров по остановкам: Каждый из 15 пассажиров может выбрать одну из 20 остановок, независимо от остальных. Таким образом, общее количество способов, которыми пассажиры могут выбрать свои остановки, равно \(20^{15}\) (так как каждый пассажир выбирает одну из 20 остановок).
\[ \text{Общее количество способов} = 20^{15} \]
- Количество благоприятных исходов: Для того чтобы никакие два пассажира не вышли на одной и той же остановке, каждому пассажиру нужно выбрать уникальную остановку. Это задача на перестановки 15 пассажиров по 20 доступным местам, где порядок имеет значение. Таким образом, мы должны выбрать 15 различных остановок из 20, и затем определить одного пассажира для каждой из этих остановок. Количество способов выбрать 15 остановок из 20 равно числу сочетаний \(C^{15}_{20}\):
\[ C^{15}_{20} = \frac{20!}{15!(20-15)!} = \frac{20!}{15! \cdot 5!} \]
После выбора 15 остановок, мы можем переставлять пассажиров на них 15! способами (каждая перестановка определяет уникальное соответствие пассажиров и остановок):
\[ \text{Благоприятные исходы} = C^{15}_{20} \times 15! \]
- Выражение вероятности: Вероятность события — это отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов:
\[ P = \frac{C^{15}_{20} \times 15!}{20^{15}} \]
Подставим выражения:
\[ P = \frac{\frac{20!}{15! \cdot 5!} \times 15!}{20^{15}} = \frac{20!}{5! \times 20^{15}} \]
- Упрощение выражения: Факториал 20! можно записать как \(20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16\). Разделим числитель и знаменатель на \(15!\):
\[ P = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16}{20^{15}} \]
Это выражение можно немного упростить дальше, но уже сейчас видно, что вероятность очень мала, поскольку знаменатель \(20^{15}\) очень велик по сравнению с числителем. Таким образом, вероятность того, что никакие два пассажира не выйдут на одной и той же остановке, находится по формуле:
\[ P = \frac{20!}{5! \times 20^{15}} \]
Эта вероятность крайне мала, потому что \(20^{15}\) значительно больше 20!.