Работа вам нужна срочно. Не волнуйтесь, уложимся!
Заполните, пожалуйста, данные для автора:
- 22423 авторов готовы помочь тебе.
- 2402 онлайн
Данный пример относится к курсу математической статистики. Первая задача требует нахождения доверительных пределов для генеральной средней, а также проверки репрезентативности выборки. Вторая задача связана с определением вероятности ошибки в выборочной оценке. Давайте решим первую задачу.
Используем формулу для доверительного интервала средней для генеральной совокупности, если известно среднеквадратическое отклонение:
\[\ \overline{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \overline{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]Где:
Значение \(\ z_{\alpha/2} \) соответствует критической точке стандартного нормального распределения для \(\ 1 - \alpha = 0.997 \).
Для этой вероятности находим значение квантиля:
\[\ z_{\alpha/2} \approx 3. \]Теперь подставим значения в формулу:
\[\ 10 - 3 \cdot \frac{5}{\sqrt{100}} \leq \mu \leq 10 + 3 \cdot \frac{5}{\sqrt{100}} \] \[\ 10 - 3 \cdot 0.5 \leq \mu \leq 10 + 3 \cdot 0.5 \] \[\ 10 - 1.5 \leq \mu \leq 10 + 1.5 \] \[\ 8.5 \leq \mu \leq 11.5. \]Ответ на первый вопрос: доверительный интервал для генеральной средней с вероятностью 0.997 — от 8.5 до 11.5 минут.
Репрезентативность выборки можно проверить на основе достаточного объема выборки и случайности отбора. В задаче указано, что количество наблюдений — 100, что является достаточно большим объемом. Если выборка была отобрана случайным образом, можем считать, что выборка репрезентативная.
Ответ на второй вопрос: выборку можно считать репрезентативной, если ее отбор был случайным.
Здесь нужно ответить на вопрос: с какой вероятностью допустима ошибка в определении средней продолжительности разговора, не превышающая 1 минуту?
Используем ту же формулу для доверительного интервала, где ошибка (отклонение от выборочной средней) не должна превышать 1 минуту.
\[\ z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1 \]Подставляем имеющиеся значения:
\[\ z_{\alpha/2} \cdot \frac{5}{\sqrt{100}} = 1 \] \[\ z_{\alpha/2} \cdot 0.5 = 1 \] \[\ z_{\alpha/2} = \frac{1}{0.5} = 2. \]Теперь мы знаем, что \(\ z_{\alpha/2} = 2 \). По таблице стандартного нормального распределения для значения 2 можно найти вероятность. Это \(\ P(z \leq 2) \approx 0.9772 \).
Таким образом, вероятность того, что ошибка определения средней продолжительности одного телефонного разговора не превышает 1 минуты, составляет 97.72%.
Ответы: