Нахождение длины дуги плоской кривой

Это задача по разделу "Дифференциальное исчисление" предмета "Математика", а именно тема "Длина дуги плоской кривой".

Найдем длину дуги кривой \( y = \frac{2}{3} \sqrt{(x-1)^3} \) на отрезке \([1;4]\). Формула длины дуги кривой \( y = f(x) \) от точки \(a\) до точки \(b\) такая: \[ L = \int_a^b \sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2} \, dx \] Для этого нам нужно сначала найти производную \( \frac{dy}{dx} \).

1. Найдем производную \( y \) по \( x \): \[ y = \frac{2}{3} (x-1)^{3/2} \] \[ \frac{dy}{dx} = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} (x-1)^{1/2} = (x-1)^{1/2} \] Теперь подставим \(\frac{dy}{dx}\) в формулу для длины дуги: \[ L = \int_1^4 \sqrt{1 + \left((x-1)^{1/2}\right)^2} \, dx = \int_1^4 \sqrt{1 + (x-1)} \, dx = \int_1^4 \sqrt{x} \, dx \]
2. Вычислим интеграл: \[ \int \sqrt{x} \, dx = \int x^{1/2} \, dx = \frac{2}{3} x^{3/2} \]
3. Подставим пределы интегрирования \(1\) и \(4\): \[ L = \left. \frac{2}{3} x^{3/2} \right|_1^4 = \frac{2}{3} \left(4^{3/2} - 1^{3/2}\right) = \frac{2}{3} \left(8 - 1\right) = \frac{2}{3} \cdot 7 = \frac{14}{3} \] Итак, длина дуги кривой на отрезке \([1,4]\) равна \( \frac{14}{3} \). Это значение уже является несократимой дробью.

Ответ: α = 14, b = 3

Ответ: \( \frac{14}{3} \).