Методом наименьших квадратов найти уравнение регрессии y= a * x + b

Задание относится к курсу математики, а именно к разделу статистики и регрессионного анализа.

Метод наименьших квадратов (МНК) используется для аппроксимации зависимостей между переменными. Задача заключается в нахождении уравнения регрессии в виде \( y = ax + b \), где \( a \) и \( b \) - параметры, минимизирующие сумму квадратов отклонений наблюдаемых значений от предсказанных. Данные: \[ \begin{array}{c|c} x_i & y_i \\ \hline 4 & 6 \\ 4 & 7 \\ 5 & 8 \\ 5 & 9 \\ 6 & 12 \\ \end{array} \]

Выполним следующие шаги:

1. Найдём средние значения \( \bar{x} \) и \( \bar{y} \): \[ \bar{x} = \frac{4 + 4 + 5 + 5 + 6}{5} = \frac{24}{5} = 4.8 \] \[ \bar{y} = \frac{6 + 7 + 8 + 9 + 12}{5} = \frac{42}{5} = 8.4 \]
2. Найдём \( a \) и \( b \) с помощью следующих формул: \[ a = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum (x_i - \bar{x})^2} \] \[ b = \bar{y} - a \bar{x} \]

   Рассчитаем \( \sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) \) и \( \sum (x_i - \bar{x})^2 \): \[ \begin{array}{c|c|c|c} x_i & y_i & (x_i - \bar{x}) & (y_i - \bar{y}) & (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) & (x_i - \bar{x})^2 \\ 4 & 6 & -0.8 & -2.4 & 1.92 & 0.64 \\ 4 & 7 & -0.8 & -1.4 & 1.12 & 0.64 \\ 5 & 8 & 0.2 & -0.4 & -0.08 & 0.04 \\ 5 & 9 & 0.2 & 0.6 & 0.12 & 0.04 \\ 6 & 12 & 1.2 & 3.6 & 4.32 & 1.44 \\ \end{array} \]

   Теперь суммируем: \[ \sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = 1.92 + 1.12 - 0.08 + 0.12 + 4.32 = 7.4 \] \[ \sum (x_i - \bar{x})^2 = 0.64 + 0.64 + 0.04 + 0.04 + 1.44 = 2.8 \]

   Теперь можем найти коэффициенты: \[ a = \frac{7.4}{2.8} \approx 2.642857 \] \[ b = 8.4 - 2.642857 \cdot 4.8 \approx -4.2857 \]

   Окончательное уравнение регрессии: \[ y \approx 2.6429x - 4.2857 \]

   Вариант ответа A: \[ y = 2.6429 \cdot x - 4.2857 \]