Исследовать зависимость стоимости загородного дома (в млн. руб.) от расстояния до центра (в км) на основе данных

Предмет: Математика
Раздел: Статистика, исследование зависимостей (регрессионный анализ)

Задача: Исследовать зависимость стоимости загородного дома (в млн. руб.) от расстояния до центра (в км) на основе данных:

Шаг 1. Построение графика зависимости

Построим график зависимости стоимости дома от расстояния до центра.

• По оси X откладываем расстояние (10, 20, 30, 40, 50)
• По оси Y — стоимость (4, 2, 2, 1, 1)

График покажет, как изменяется стоимость с увеличением расстояния.

Шаг 2. Анализ зависимости

По данным видно, что с увеличением расстояния стоимость дома уменьшается. Это типичная обратная зависимость.

Шаг 3. Выбор модели зависимости

Попробуем аппроксимировать зависимость линейной моделью:

y = a x + b,

где y — стоимость дома, x — расстояние.

Шаг 4. Нахождение коэффициентов линейной регрессии

Используем метод наименьших квадратов.

Даны точки:

 \begin{cases} (10, 4), \ (20, 2), \ (30, 2), \ (40, 1), \ (50, 1). \end{cases} 

Вычислим необходимые суммы:

 \begin{aligned} n &= 5, \ \sum x_i &= 10 + 20 + 30 + 40 + 50 = 150, \ \sum y_i &= 4 + 2 + 2 + 1 + 1 = 10, \ \sum x_i y_i &= 10 \cdot 4 + 20 \cdot 2 + 30 \cdot 2 + 40 \cdot 1 + 50 \cdot 1 = \ &= 40 + 40 + 60 + 40 + 50 = 230, \ \sum x_i^2 &= 10^2 + 20^2 + 30^2 + 40^2 + 50^2 = \ &= 100 + 400 + 900 + 1600 + 2500 = 5500. \end{aligned} 

Коэффициенты:

 a = \frac{n \sum x_i y_i - \sum x_i \sum y_i}{n \sum x_i^2 - (\sum x_i)^2} = \frac{5 \cdot 230 - 150 \cdot 10}{5 \cdot 5500 - 150^2} = \frac{1150 - 1500}{27500 - 22500} = \frac{-350}{5000} = -0.07, 

 b = \frac{\sum y_i - a \sum x_i}{n} = \frac{10 - (-0.07) \cdot 150}{5} = \frac{10 + 10.5}{5} = \frac{20.5}{5} = 4.1. 

Шаг 5. Итоговая модель

y = -0.07 x + 4.1.

Шаг 6. Проверка модели на данных

Для x=10:

y = -0.07 \cdot 10 + 4.1 = -0.7 + 4.1 = 3.4, что близко к 4.

Для x=50:

y = -0.07 \cdot 50 + 4.1 = -3.5 + 4.1 = 0.6, что близко к 1.

Вывод:

Стоимость дома уменьшается примерно на 0.07 млн. руб. с каждым километром увеличения расстояния от центра. Модель линейной регрессии описывает эту зависимость.

Если нужно, могу построить график или рассчитать другие параметры.