Используя критерий Пирсона на уровне значимости 0.05, проверить, согласуется ли эмпирическое распределение выборки с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности

Предмет: Математическая статистика

Раздел: Проверка статистических гипотез, критерий согласия Пирсона

Задача:

Используя критерий Пирсона на уровне значимости 0.05, проверить, согласуется ли эмпирическое распределение выборки с гипотезой о нормальном распределении генеральной совокупности \(X\).

Дано:

1. Гипотеза \(H_0\): выборка следует нормальному распределению.
2. Уровень значимости: \(\alpha = 0.05\).
3. Выборка объёмом \( n = 200 \) (по частотам \(m_i\)).
4. Эмпирические данные:

Этапы решения:

1. Формулировка гипотезы:

• H₀: Выборка следует нормальному распределению.
• H₁: Распределение выборки отличается от нормального распределения.

2. Критерий согласия Пирсона (χ²):

Критерий \(\chi^2\) используется для проверки хорошего согласия между теоретическими и наблюдаемыми частотами в дискретных данных.

Формула критерия Пирсона:

\[ \chi^2 = \sum \frac{(m_i - n p_i)^2}{n p_i} \]

где:

• \(m_i\) — наблюдаемая частота в интервале \(i\),
• \(n p_i\) — ожидаемая частота (теоретическая), которая вычисляется через функцию плотности нормального распределения,
• \(n\) — общий объем выборки,
• \(p_i\) — вероятность попадания значения в диапазон \(x_i\) при нормальном распределении.

3. Оценка параметров нормального распределения:

Для нахождения ожидаемых частот необходимо оценить параметры нормального распределения (математическое ожидание и дисперсию) по выборке.

Пусть \( \mu \) — выборочное среднее и \( \sigma^2 \) — дисперсия. Выборочное среднее вычисляется по формуле:

\[ \mu = \frac{\sum x_i \cdot m_i}{n} \]

Подставляем данные:

\[ \mu = \frac{5 \cdot 15 + 7 \cdot 26 + 9 \cdot 25 + 11 \cdot 30 + 13 \cdot 26 + 15 \cdot 21 + 17 \cdot 24 + 19 \cdot 20 + 21 \cdot 13}{200} \]

\[ \mu = \frac{2005}{200} = 11.025 \]

Для дисперсии воспользуемся формулой:

\[ \sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \mu)^2 \cdot m_i}{n} \]

4. Вычисление критического значения \(\chi^2_{\text{крит}}\):

• Степени свободы: \(k - 1 - m\), где \(k\) — число интервалов, \(m\) — число оцененных параметров (здесь два: \(\mu\) и \(\sigma^2\)).
• Определяем \(\chi^2_{\text{крит}}\) по таблице значений критерия Пирсона для заданного уровня значимости \(\alpha = 0.05\).

5. Принятие решения:

Сравниваем \(\chi^2_{\text{наблюдаемое}}\) с \(\chi^2_{\text{крит}}\):

• Если \(\chi^2_{\text{наблюдаемое}} > \chi^2_{\text{крит}}\), отвергаем гипотезу \(H_0\).
• Если \(\chi^2_{\text{наблюдаемое}} \leq \chi^2_{\text{крит}}\), принимаем гипотезу \(H_0\).

Это краткий план решения задачи. Точные числовые значения можно получить через дополнительные арифметические расчёты.

Выполним расчет дисперсии, а затем находить ожидаемые частоты \( np_i \) для разных интервалов \(x_i\). Эти частоты будут использоваться для подстановки в формулу \(\chi^2\).