Интервальная статистическая оценка (доверительные интервалы)

Предмет и раздел:

Это задание относится к статистике, а конкретно — к разделу интервальной статистической оценки (доверительные интервалы).

Решение:

Чтобы ответить на данный вопрос, сначала разберёмся, как зависит ширина доверительного интервала от объема выборки.

Доверительный интервал: формула

Доверительный интервал для оценки математического ожидания $\text{(}\mu \text{)}$ нормально распределённого признака рассчитывается по следующей формуле:

$\text{[}\overline{x}\pm Z\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}},\text{]}$

где:

• $\text{(}\overline{x}\text{)}$ — выборочное среднее,
• $\text{(}Z\text{)}$ — квантиль стандартного нормального распределения (определяется уровнем значимости),
• $\text{(}\sigma \text{)}$ — дисперсия генеральной совокупности,
• $\text{(}n\text{)}$ — объём выборки.

Влияние объёма выборки ($\text{(}n\text{)}$) на доверительный интервал:

1. Ширина доверительного интервала определяется второй частью формулы:
2. Из формулы видно, что ширина интервала обратно пропорциональна $\text{(}\sqrt{n}\text{)}$. Это значит:
   • При уменьшении объёма выборки ($\text{(}n\text{)}$), $\text{(}\sqrt{n}\text{)}$ становится меньше.
   • Это увеличивает выражение $\text{(}\frac{\sigma }{\sqrt{n}},\text{)}$ а, следовательно, доверительный интервал становится шире.

Вывод:

При уменьшении объема выборки доверительный интервал расширяется при неизменных уровне значимости ($\text{(}\alpha \text{)}$) и дисперсии ($\text{(}{\sigma }^2\text{)}$). Это объясняется тем, что меньшее $\text{(}n\text{)}$ увеличивает стандартную ошибку среднего ($\text{(}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\text{)}$), и, как следствие, вызывает большую неопределённость в оценке математического ожидания.

Описание нового доверительного интервала:

Допустим, доверительный интервал при меньшем объёме выборки примет вид $\text{(}(16;21)\text{)}$. Это интервал шире, чем исходный интервал $\text{(}(16,7;20,8)\text{)}$.

Итог:

При уменьшении объема выборки (при неизменных дисперсии и уровне значимости) доверительный интервал станет шире.

$\text{[}\text{Ширина интервала}=2\cdot Z\cdot \frac{\sigma }{\sqrt{n}}.\text{]}$