Интервальная статистическая оценка (доверительные интервалы)

Предмет и раздел:

Это задание относится к статистике, а конкретно — к разделу интервальной статистической оценки (доверительные интервалы).

Решение:

Чтобы ответить на данный вопрос, сначала разберёмся, как зависит ширина доверительного интервала от объема выборки.

Доверительный интервал: формула

Доверительный интервал для оценки математического ожидания \(\mu\) нормально распределённого признака рассчитывается по следующей формуле:

\[\bar{x} \pm Z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}},\]

где:

• \(\bar{x}\) — выборочное среднее,
• \(Z\) — квантиль стандартного нормального распределения (определяется уровнем значимости),
• \(\sigma\) — дисперсия генеральной совокупности,
• \(n\) — объём выборки.

Влияние объёма выборки (\(n\)) на доверительный интервал:

1. Ширина доверительного интервала определяется второй частью формулы:
2. Из формулы видно, что ширина интервала обратно пропорциональна \(\sqrt{n}\). Это значит:
   • При уменьшении объёма выборки (\(n\)), \(\sqrt{n}\) становится меньше.
   • Это увеличивает выражение \(\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\) а, следовательно, доверительный интервал становится шире.

Вывод:

При уменьшении объема выборки доверительный интервал расширяется при неизменных уровне значимости (\(\alpha\)) и дисперсии (\(\sigma^2\)). Это объясняется тем, что меньшее \(n\) увеличивает стандартную ошибку среднего (\(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)), и, как следствие, вызывает большую неопределённость в оценке математического ожидания.

Описание нового доверительного интервала:

Допустим, доверительный интервал при меньшем объёме выборки примет вид \((16; 21)\). Это интервал шире, чем исходный интервал \((16,7; 20,8)\).

Итог:

При уменьшении объема выборки (при неизменных дисперсии и уровне значимости) доверительный интервал станет шире.

\[\text{Ширина интервала} = 2 \cdot Z \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}.\]