Эмпирический с заданным распределением выборки найти функцию

Предмет: Математическая статистика

Раздел: Эмпирическое распределение

Задание требует найти эмпирическую функцию распределения на основе выборки, заданной в таблице.

Дано:

• Значения выборки ( x_i = {2, 3, 5, 6} ),
• Частоты ( n_i = {10, 15, 5, 20} ).

Шаг 1: Найдем объем выборки

Объем выборки ( N ) — это сумма всех частот: N = \sum n_i = 10 + 15 + 5 + 20 = 50.

Шаг 2: Найдем относительные частоты

Относительная частота для каждого значения ( x_i ) равна: p_i = \frac{n_i}{N}.

Вычислим:

• Для ( x_1 = 2 ): p_1 = \frac{10}{50} = 0.2.
• Для ( x_2 = 3 ): p_2 = \frac{15}{50} = 0.3.
• Для ( x_3 = 5 ): p_3 = \frac{5}{50} = 0.1.
• Для ( x_4 = 6 ): p_4 = \frac{20}{50} = 0.4.

Шаг 3: Найдем накопленные частоты

Накопленная частота ( F(x) ) вычисляется как сумма относительных частот для всех ( x_i ), меньших или равных текущему ( x ).

• Для ( x < 2 ): F(x) = 0.
• Для ( 2 \leq x < 3 ): F(x) = p_1 = 0.2.
• Для ( 3 \leq x < 5 ): F(x) = p_1 + p_2 = 0.2 + 0.3 = 0.5.
• Для ( 5 \leq x < 6 ): F(x) = p_1 + p_2 + p_3 = 0.2 + 0.3 + 0.1 = 0.6.
• Для ( x \geq 6 ): F(x) = p_1 + p_2 + p_3 + p_4 = 0.2 + 0.3 + 0.1 + 0.4 = 1.

Шаг 4: Запишем эмпирическую функцию распределения

Эмпирическая функция распределения ( F(x) ) имеет вид:  F(x) = \begin{cases} 0, & x < 2, \ 0.2, & 2 \leq x < 3, \ 0.5, & 3 \leq x < 5, \ 0.6, & 5 \leq x < 6, \ 1, & x \geq 6. \end{cases} 

График

Эмпирическая функция распределения — это ступенчатая функция, которая возрастает в точках ( x_i ). График строится по указанным значениям ( F(x) ).