Анализ зависимости двух переменных: объема продаж и затрат на рекламу

Данная задача относится к предмету математическая статистика (раздел: регрессионный анализ и корреляция), а именно постановка задачи предполагает анализ зависимости двух переменных: объема продаж \( X \) и затрат на рекламу \( Y \). Для решения я выполню следующие шаги:

1. Построю диаграмму рассеяния (график "точек", каждая из которых соответствует паре значений переменных \(X\) и \(Y\)).
2. Рассчитаем выборочный коэффициент корреляции Пирсона.
3. Проверим, отличается ли коэффициент значимо от нуля при уровне значимости \( \alpha = 0.05 \).
4. Запишем уравнение линейной регрессии.
5. Дадим интерпретацию полученным результатам.

1. Построение диаграммы рассеяния

Пара значений \(X\) и \(Y\) позволяет построить диаграмму рассеяния, которая показывает, есть ли графическая зависимость между этими переменными.

Пары значений:

\(X = [72, 78, 76, 70, 68, 80, 82, 65, 62, 90]\)

\(Y = [5, 8, 6, 5, 3, 9, 12, 4, 3, 10]\)

Это создаст диаграмму с точками на плоскости (X, Y). Чем ближе точки к прямой линии, тем более выражена линейная зависимость.

2. Вычисление коэффициента корреляции Пирсона

Формула для расчёта коэффициента корреляции Пирсона (\(r\)):

\[ r = \frac{n \sum XY - (\sum X)(\sum Y)}{\sqrt{(n\sum X^2 - (\sum X)^2)(n\sum Y^2 - (\sum Y)^2)}} \]

Где:

• \(n = 10\) (количество наблюдений),
• \(\sum X\) — это сумма значений переменной \(X\),
• \(\sum Y\) — это сумма значений переменной \(Y\),
• \(\sum XY\) — это сумма произведений \(X\) и \(Y\),
• \(\sum X^2\) — это сумма квадратов значений \(X\),
• \(\sum Y^2\) — это сумма квадратов значений \(Y\).

Считаем промежуточные величины:

• \(\sum X = 743\),
• \(\sum Y = 65\),
• \(\sum X^2 = 55803\),
• \(\sum Y^2 = 583\),
• \(\sum XY = 4865\).

Подставляем в формулу коэффициента корреляции:

\[ r = \frac{10 \times 4865 - (743 \times 65)}{\sqrt{(10 \times 55803 - 743^2)(10 \times 583 - 65^2)}} \]

Выполним расчёты:

\[ r = \frac{48650 - 48395}{\sqrt{(558030 - 552049)(5830 - 4225)}} = \frac{255}{\sqrt{5981 \times 1605}} = \frac{255}{\sqrt{9593205}} \approx \frac{255}{3097.13} \approx 0.0823 \]

3. Проверка значимости корреляции

Теперь проверим статистическую значимость данного значения коэффициента корреляции при уровне значимости \(\alpha = 0.05\).

t-критерий для проверки значимости:

\[ t = r \times \sqrt{\frac{n - 2}{1 - r^2}} \]

Так как \(n = 10\), подставляем \(r = 0.0823\):

\[ t = 0.0823 \times \sqrt{\frac{10 - 2}{1 - 0.0823^2}} \approx 0.0823 \times \sqrt{\frac{8}{1 - 0.0068}} \approx 0.0823 \times \sqrt{8.0544} \approx 0.0823 \times 2.838 = 0.2336. \]

Сравниваем с критическим значением t-критерия при 8 степенях свободы и уровне значимости 0.05, которое составляет примерно \(t_{crit} = 2.306\).

Поскольку \(t = 0.2336\) значительно меньше \(t_{crit}\), мы не можем отвергнуть нулевую гипотезу, и зависимость статистически незначима.

4. Уравнение регрессии

Линейная регрессия имеет вид:

\[ Y = aX + b \]

Коэффициенты \(a\) и \(b\) вычисляются по формулам:

\[ a = \frac{n \sum XY - (\sum X)(\sum Y)}{n \sum X^2 - (\sum X)^2}, \quad b = \frac{\sum Y - a \sum X}{n} \]

Рассчитаем \(a\):

\[ a = \frac{10 \times 4865 - 743 \times 65}{10 \times 55803 - 743^2} = \frac{48650 - 48395}{558030 - 552049} = \frac{255}{5981} \approx 0.0426 \]

Теперь \(b\):

\[ b = \frac{65 - 0.0426 \times 743}{10} = \frac{65 - 31.65}{10} = \frac{33.35}{10} = 3.335 \]

Получаем уравнение регрессии:

\[ Y = 0.0426X + 3.335 \]

5. Интерпретация

• Коэффициент корреляции Пирсона \(r = 0.0823\) указывает на очень слабую положительную корреляцию между расходами на рекламу и объемами продаж, однако эта корреляция статистически незначима при \( \alpha = 0.05 \).
• Уравнение регрессии \(Y = 0.0426X + 3.335\) показывает, что на каждый 1 тыс. руб., потраченный на рекламу, прогнозируется увеличение продаж на 0.0426 тыс. руб., однако эта модель недостаточно адекватна для прогнозов из-за слабой зависимости переменных.

Следовательно, текущие результаты показывают, что влияние рекламных затрат на рост продаж в исследуемом случае выражено слабо.