Анализ зависимости двух переменных: объема продаж и затрат на рекламу

Данная задача относится к предмету математическая статистика (раздел: регрессионный анализ и корреляция), а именно постановка задачи предполагает анализ зависимости двух переменных: объема продаж $\text{(}X\text{)}$ и затрат на рекламу $\text{(}Y\text{)}$. Для решения я выполню следующие шаги:

1. Построю диаграмму рассеяния (график "точек", каждая из которых соответствует паре значений переменных $\text{(}X\text{)}$ и $\text{(}Y\text{)}$).
2. Рассчитаем выборочный коэффициент корреляции Пирсона.
3. Проверим, отличается ли коэффициент значимо от нуля при уровне значимости $\text{(}\alpha =0.05\text{)}$.
4. Запишем уравнение линейной регрессии.
5. Дадим интерпретацию полученным результатам.

1. Построение диаграммы рассеяния

Пара значений $\text{(}X\text{)}$ и $\text{(}Y\text{)}$ позволяет построить диаграмму рассеяния, которая показывает, есть ли графическая зависимость между этими переменными.

Пары значений:

$\text{(}X=[72,78,76,70,68,80,82,65,62,90]\text{)}$

$\text{(}Y=[5,8,6,5,3,9,12,4,3,10]\text{)}$

Это создаст диаграмму с точками на плоскости (X, Y). Чем ближе точки к прямой линии, тем более выражена линейная зависимость.

2. Вычисление коэффициента корреляции Пирсона

Формула для расчёта коэффициента корреляции Пирсона ($\text{(}r\text{)}$):

$\text{[}r=\frac{n\sum XY-(\sum X)(\sum Y)}{\sqrt{(n\sum X^2-(\sum X{)}^2)(n\sum Y^2-(\sum Y{)}^2)}}\text{]}$

Где:

• $\text{(}n=10\text{)}$ (количество наблюдений),
• $\text{(}\sum X\text{)}$ — это сумма значений переменной $\text{(}X\text{)}$,
• $\text{(}\sum Y\text{)}$ — это сумма значений переменной $\text{(}Y\text{)}$,
• $\text{(}\sum XY\text{)}$ — это сумма произведений $\text{(}X\text{)}$ и $\text{(}Y\text{)}$,
• $\text{(}\sum X^2\text{)}$ — это сумма квадратов значений $\text{(}X\text{)}$,
• $\text{(}\sum Y^2\text{)}$ — это сумма квадратов значений $\text{(}Y\text{)}$.

Считаем промежуточные величины:

• $\text{(}\sum X=743\text{)}$,
• $\text{(}\sum Y=65\text{)}$,
• $\text{(}\sum X^2=55803\text{)}$,
• $\text{(}\sum Y^2=583\text{)}$,
• $\text{(}\sum XY=4865\text{)}$.

Подставляем в формулу коэффициента корреляции:

$\text{[}r=\frac{10\times 4865-(743\times 65)}{\sqrt{(10\times 55803-{743}^2)(10\times 583-{65}^2)}}\text{]}$

Выполним расчёты:

$\text{[}r=\frac{48650-48395}{\sqrt{(558030-552049)(5830-4225)}}=\frac{255}{\sqrt{5981\times 1605}}=\frac{255}{\sqrt{9593205}}\approx \frac{255}{3097.13}\approx 0.0823\text{]}$

3. Проверка значимости корреляции

Теперь проверим статистическую значимость данного значения коэффициента корреляции при уровне значимости $\text{(}\alpha =0.05\text{)}$.

t-критерий для проверки значимости:

$\text{[}t=r\times \sqrt{\frac{n-2}{1-r^2}}\text{]}$

Так как $\text{(}n=10\text{)}$, подставляем $\text{(}r=0.0823\text{)}$:

$\text{[}t=0.0823\times \sqrt{\frac{10-2}{1-{0.0823}^2}}\approx 0.0823\times \sqrt{\frac{8}{1-0.0068}}\approx 0.0823\times \sqrt{8.0544}\approx 0.0823\times 2.838=0.2336.\text{]}$

Сравниваем с критическим значением t-критерия при 8 степенях свободы и уровне значимости 0.05, которое составляет примерно $\text{(}{t}_{crit}=2.306\text{)}$.

Поскольку $\text{(}t=0.2336\text{)}$ значительно меньше $\text{(}{t}_{crit}\text{)}$, мы не можем отвергнуть нулевую гипотезу, и зависимость статистически незначима.

4. Уравнение регрессии

Линейная регрессия имеет вид:

$\text{[}Y=aX+b\text{]}$

Коэффициенты $\text{(}a\text{)}$ и $\text{(}b\text{)}$ вычисляются по формулам:

$\text{[}a=\frac{n\sum XY-(\sum X)(\sum Y)}{n\sum X^2-(\sum X{)}^2},b=\frac{\sum Y-a\sum X}{n}\text{]}$

Рассчитаем $\text{(}a\text{)}$:

$\text{[}a=\frac{10\times 4865-743\times 65}{10\times 55803-{743}^2}=\frac{48650-48395}{558030-552049}=\frac{255}{5981}\approx 0.0426\text{]}$

Теперь $\text{(}b\text{)}$:

$\text{[}b=\frac{65-0.0426\times 743}{10}=\frac{65-31.65}{10}=\frac{33.35}{10}=3.335\text{]}$

Получаем уравнение регрессии:

$\text{[}Y=0.0426X+3.335\text{]}$

5. Интерпретация

• Коэффициент корреляции Пирсона $\text{(}r=0.0823\text{)}$ указывает на очень слабую положительную корреляцию между расходами на рекламу и объемами продаж, однако эта корреляция статистически незначима при $\text{(}\alpha =0.05\text{)}$.
• Уравнение регрессии $\text{(}Y=0.0426X+3.335\text{)}$ показывает, что на каждый 1 тыс. руб., потраченный на рекламу, прогнозируется увеличение продаж на 0.0426 тыс. руб., однако эта модель недостаточно адекватна для прогнозов из-за слабой зависимости переменных.

Следовательно, текущие результаты показывают, что влияние рекламных затрат на рост продаж в исследуемом случае выражено слабо.