1) Построить гистограмму частот; 2)Найдите выборочную среднюю и выборочную дисперсию

Предмет: Математика (раздел: Статистика)

Шаг 1) Построение гистограммы

Гистограмма частот иллюстрирует, как часто различные значения (или интервалы значений) встречаются в данных. У нас есть интервалы прибыли фирм и количество фирм в каждом интервале.

Данные:

• Прибыль (тыс. у.е.): 0-50, 50-100, 100-150, 150-200
• Количество фирм: 3, 5, 7, 5

Для построения гистограммы по осям:

• Ось X: интервалы прибыли
• Ось Y: частоты (количество фирм)

Шаг 2) Найдём выборочную среднюю и выборочную дисперсию:

1. Выборочная средняя (\(\bar{x}\))

Формула для выборочной средней:

\[\bar{x} = \frac{\sum (x_i \cdot n_i)}{N}\]

где:

• \(x_i\) — это средина интервала;
• \(n_i\) — количество фирм в данном интервале;
• \(N\) — общее количество фирм.

Найдём средины интервалов:

\[\text{0-50: } x_1 = \frac{0 + 50}{2} = 25\]

\[\text{50-100: } x_2 = \frac{50 + 100}{2} = 75\]

\[\text{100-150: } x_3 = \frac{100 + 150}{2} = 125\]

\[\text{150-200: } x_4 = \frac{150 + 200}{2} = 175\]

Теперь подставляем значения в формулу средней:

\[\sum x_i \cdot n_i = 25 \cdot 3 + 75 \cdot 5 + 125 \cdot 7 + 175 \cdot 5 = 75 + 375 + 875 + 875 = 2200\]

\[N = 3 + 5 + 7 + 5 = 20\]

\[\bar{x} = \frac{2200}{20} = 110\]

Выборочная средняя прибыли фирм равна \(110\) тыс. у.е.

2. Выборочная дисперсия (\(S^2\))

Формула для выборочной дисперсии:

\[S^2 = \frac{\sum n_i \cdot (x_i - \bar{x})^2}{N}\]

Сначала найдем \( (x_i - \bar{x})^2 \cdot n_i \):

\[(25 - 110)^2 \cdot 3 = (-85)^2 \cdot 3 = 7225 \cdot 3 = 21675\]

\[(75 - 110)^2 \cdot 5 = (-35)^2 \cdot 5 = 1225 \cdot 5 = 6125\]

\[(125 - 110)^2 \cdot 7 = (15)^2 \cdot 7 = 225 \cdot 7 = 1575\]

\[(175 - 110)^2 \cdot 5 = (65)^2 \cdot 5 = 4225 \cdot 5 = 21125\]

Теперь суммируем:

\[\sum n_i \cdot (x_i - \bar{x})^2 = 21675 + 6125 + 1575 + 21125 = 50500\]

Теперь используем формулу для расчета дисперсии:

\[S^2 = \frac{50500}{20} = 2525\]

Ответ:

1. Гистограмма частот должна быть построена по данным:
   • 0-50: 3 фирмы
   • 50-100: 5 фирм
   • 100-150: 7 фирм
   • 150-200: 5 фирм
2. Выборочная средняя: \(\bar{x} = 110\) тыс. у.е.
3. Выборочная дисперсия: \(S^2 = 2525\).

Выборочная дисперсия \(S^2 = 2525\).