1. найти дифференциальную функцию (плотность вероятности); 2) найти математическое ожидание и дисперсию Х; 3) построить графики интегральной и дифференциальной функций

Этот пример относится к предмету "Теория вероятностей и математическая статистика", раздел "Случайные величины и их распределения".

Для решения задания выполним следующие шаги:

1. Найдем дифференциальную функцию (плотность вероятности).
2. Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины \(X\).
3. Построим графики интегральной и дифференциальной функций.

1. Нахождение дифференциальной функции (плотности вероятности):

Плотность вероятности \(f(x)\) случайной величины \(X\) определяется как производная от функции распределения \(F(x)\): \[ f(x) = \frac{d}{dx} F(x) \]

Определим плотность вероятности по участкам:

• Для \(x \leq 0\): \[ F(x) = 0 \] \[ f(x) = \frac{d}{dx}F(x) = \frac{d}{dx}0 = 0 \]
• Для \(0 < x \leq 8\): \[ F(x) = \frac{x^2}{64} \] \[ f(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{64}\right) = \frac{2x}{64} = \frac{x}{32} \]
• Для \(x > 8\): \[ F(x) = 1 \] \[ f(x) = \frac{d}{dx}1 = 0 \]

Таким образом, плотность вероятности \(f(x)\) определяется как: \[ f(x) = \begin{cases} 0, & \text{при}\ x \leq 0, \\ \frac{x}{32}, & \text{при}\ 0 < x \leq 8, \\ 0, & \text{при}\ x > 8. \end{cases} \]

2. Нахождение математического ожидания и дисперсии случайной величины \(X\):

Математическое ожидание (среднее значение) случайной величины \(X\) определяется как: \[ \mathbb{E}[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\,dx \]

Разделим интеграл по участкам, где плотность \(f(x)\) не равна нулю: \[ \mathbb{E}[X] = \int_{0}^{8} x \left(\frac{x}{32}\right)\,dx = \frac{1}{32} \int_{0}^{8} x^2\,dx \]

Решим интеграл: \[ \int_{0}^{8} x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{8} = \frac{8^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{512}{3} \]

Итак: \[ \mathbb{E}[X] = \frac{1}{32} \cdot \frac{512}{3} = \frac{512}{96} = \frac{16}{3} = 5.33 \]

Теперь найдем дисперсию \(X\), которая определяется как: \[ \text{Var}(X) = \mathbb{E}[X^2] - (\mathbb{E}[X])^2 \]

Найдем сначала \(\mathbb{E}[X^2]\): \[ \mathbb{E}[X^2] = \int_{0}^{8} x^2 \left(\frac{x}{32}\right)\,dx = \frac{1}{32} \int_{0}^{8} x^3\,dx \]

Решим интеграл: \[ \int_{0}^{8} x^3\,dx = \left[\frac{x^4}{4}\right]_{0}^{8} = \frac{8^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{4096}{4} = 1024 \]

Итак: \[ \mathbb{E}[X^2] = \frac{1}{32} \cdot 1024 = 32 \]

Теперь можно найти дисперсию: \[ \text{Var}(X) = 32 - \left( \frac{16}{3} \right)^2 = 32 - \frac{256}/{9} = \frac{288}/{9} - \frac{256}/{9} = \frac{32}/{9} \approx 3.56 \]

Таким образом, математическое ожидание \(X\) равно \( \frac{16}/{3} \approx 5.33 \), а дисперсия \(X\) равна \( \frac{32}/{9} \approx 3.56 \).

3. Построение графиков интегральной и дифференциальной функций:

Графики этих функций можно построить по найденным формулам.

• Интегральная функция: \[ F(x) = \begin{cases} 0, & \text{при}\ x \leq 0, \\ \frac{x^2}/{64}, & \text{при}\ 0 < x \leq 8, \\ 1, & \text{при}\ x > 8. \end{cases} \]
• Дифференциальная функция (Плотность вероятности): \[ f(x) = \begin{cases} 0, & \text{при}\ x \leq 0, \\ \frac{x}/{32}, & \text{при}\ 0 < x \leq 8, \\ 0, & \text{при}\ x > 8. \end{cases} \]

Графики этих функций можно построить с помощью Python с использованием библиотеки Matplotlib, например:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Данные для графика функции распределения
x1 = np.linspace(-1, 0, 100)
x2 = np.linspace(0, 8, 100)
x3 = np.linspace(8, 9, 100)
F1 = np.zeros_like(x1)
F2 = x2**2 / 64
F3 = np.ones_like(x3)

# Построение графика функции распределения
plt.figure(figsize=(10, 5))
plt.plot(x1, F1, label='F(x) при x \leq 0')