Вычислить определитель д формул Крамера для системы

Предмет: Линейная алгебра

Раздел: Системы линейных уравнений, определители

Для решения данной задачи с использованием формулы Крамера необходимо вычислить определитель матрицы коэффициентов системы.

Система уравнений имеет вид:  \begin{cases} 2x - y + z = -1, \ -x + 3z = 7, \ x + y + 3z = 6. \end{cases} 

Шаг 1: Запишем матрицу коэффициентов

Матрица коэффициентов составляется из коэффициентов при переменных (x), (y) и (z).

 A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 1 \ -1 & 0 & 3 \ 1 & 1 & 3 \end{bmatrix}. 

Шаг 2: Вычислим определитель матрицы (A)

Определитель матрицы (A) ((\det(A))) вычисляется по формуле:  \det(A) = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \ -1 & 0 & 3 \ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix}. 

Для удобства воспользуемся методом разложения по первой строке:

 \det(A) = 2 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 3 \ 1 & 3 \end{vmatrix} - (-1) \cdot \begin{vmatrix} -1 & 3 \ 1 & 3 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 0 \ 1 & 1 \end{vmatrix}. 

Шаг 3: Вычислим миноры

1. Для первого минора:  \begin{vmatrix} 0 & 3 \ 1 & 3 \end{vmatrix} = (0 \cdot 3) - (3 \cdot 1) = -3. 

2. Для второго минора:  \begin{vmatrix} -1 & 3 \ 1 & 3 \end{vmatrix} = (-1 \cdot 3) - (3 \cdot 1) = -3 - 3 = -6. 

3. Для третьего минора:  \begin{vmatrix} -1 & 0 \ 1 & 1 \end{vmatrix} = (-1 \cdot 1) - (0 \cdot 1) = -1. 

Шаг 4: Подставим значения миноров

Подставляем найденные значения миноров в формулу для определителя:

 \det(A) = 2 \cdot (-3) - (-1) \cdot (-6) + 1 \cdot (-1). 

Вычислим:  \det(A) = -6 - 6 - 1 = -13. 

Ответ:

Определитель матрицы коэффициентов равен \det(A) = -13.