Сколько решений имеет система уравнений

Предмет: Алгебра
Раздел: Линейные уравнения и системы линейных уравнений

Рассмотрим систему линейных уравнений:

 \begin{cases} 4x_1 - x_2 - 2x_3 = 0, \ 3x_1 - x_2 + 2x_3 = 0, \ 2x_1 - 3x_2 + x_3 = 0. \end{cases} 

Нужно определить, сколько решений имеет эта система.

Шаг 1. Запишем систему в матричном виде

Коэффициентная матрица системы:  A = \begin{pmatrix} 4 & -1 & -2 \ 3 & -1 & 2 \ 2 & -3 & 1 \end{pmatrix}. 

Вектор неизвестных:  X = \begin{pmatrix} x_1 \ x_2 \ x_3 \end{pmatrix}. 

Система в матричном виде:  A X = 0. 

Шаг 2. Определение числа решений

Для определения числа решений системы нужно найти ранг матрицы (A). Сравним ранг матрицы (A) с числом переменных (в данном случае их 3).

Приведем матрицу (A) к ступенчатому виду:

 A = \begin{pmatrix} 4 & -1 & -2 \ 3 & -1 & 2 \ 2 & -3 & 1 \end{pmatrix}. 

1. Разделим первую строку на 4, чтобы получить ведущий элемент равным 1:  \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{2} \ 3 & -1 & 2 \ 2 & -3 & 1 \end{pmatrix}. 

2. Вычтем из второй строки первую, умноженную на 3, и из третьей строки первую, умноженную на 2:  \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{2} \ 0 & -\frac{1}{4} & \frac{7}{2} \ 0 & -\frac{11}{4} & 2 \end{pmatrix}. 

3. Разделим вторую строку на (-\frac{1}{4}) (чтобы получить ведущий элемент равным 1):  \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{2} \ 0 & 1 & -14 \ 0 & -\frac{11}{4} & 2 \end{pmatrix}. 

4. Вычтем из третьей строки вторую, умноженную на (-\frac{11}{4}):  \begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{2} \ 0 & 1 & -14 \ 0 & 0 & -37 \end{pmatrix}. 

Шаг 3. Найдем ранг матрицы

Полученная матрица является ступенчатой. Количество ненулевых строк равно 3. Следовательно, ранг матрицы (A = 3).

Шаг 4. Число решений

Число переменных равно 3, и ранг матрицы также равен 3. Это означает, что система имеет единственное решение.

Ответ:

2) Одно.