Системы линейных уравнений

Это задание относится к алгебре, теме "Системы линейных уравнений".

Дана система уравнений:

1. \(\displaystyle x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 1\)
2. \(\displaystyle 3x_1 + 2x_2 - 4x_3 = 0\)
3. \(\displaystyle 2x_1 - x_2 = -1\)

Решим систему методом подстановки или методом Гаусса (выбор за вами; здесь будет использован метод подстановки).

Из третьего уравнения выразим \(\displaystyle x_2\):

\(\displaystyle 2x_1 - x_2 = -1 \Rightarrow x_2 = 2x_1 + 1\)

Подставим это выражение для \(\displaystyle x_2\) в первое и второе уравнения:

1. \(\displaystyle x_1 + 2(2x_1 + 1) - 3x_3 = 1\)
2. \(\displaystyle 3x_1 + 2(2x_1 + 1) - 4x_3 = 0\)

Упростим каждое уравнение:

1. \(\displaystyle x_1 + 4x_1 + 2 - 3x_3 = 1 \Rightarrow 5x_1 - 3x_3 = -1\) (уравнение 4)
2. \(\displaystyle 3x_1 + 4x_1 + 2 - 4x_3 = 0 \Rightarrow 7x_1 - 4x_3 = -2\) (уравнение 5)

Теперь у нас есть система двух уравнений с двумя неизвестными:

1. \(\displaystyle 5x_1 - 3x_3 = -1\)
2. \(\displaystyle 7x_1 - 4x_3 = -2\)

Умножим первое уравнение на 4 и второе на 3, чтобы исключить \(\displaystyle x_3\):

\(\displaystyle 20x_1 - 12x_3 = -4\)

\(\displaystyle 21x_1 - 12x_3 = -6\)

Вычтем первое уравнение из второго:

\(\displaystyle 21x_1 - 12x_3 - 20x_1 + 12x_3 = -6 + 4\)

\(\displaystyle x_1 = -2\)

Теперь, когда нашли \(\displaystyle x_1\), подставим его в уравнение для \(\displaystyle x_2\):

\(\displaystyle x_2 = 2(-2) + 1 = -4 + 1 = -3\)

Теперь используем \(\displaystyle x_1\) и \(\displaystyle x_2\) для нахождения \(\displaystyle x_3\) из уравнения 4 или 5. Подставим в уравнение 4:

\(\displaystyle 5(-2) - 3x_3 = -1 \Rightarrow -10 - 3x_3 = -1 \Rightarrow -3x_3 = 9 \Rightarrow x_3 = -3\)

Решение системы:

\(\displaystyle x_1 = -2\), \(\displaystyle x_2 = -3\), \(\displaystyle x_3 = -3\)